Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vẽ tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF, trọng tâm (giao điểm 3 trung tuyến) là G.
Gọi M là điểm đối xứng của A qua D ---> D vừa là trung điểm AM, vừa trung điểm BC ---> ABMC là hình bình hành
---> BM=AC
Xét tam giác ABM---> \(AD< AB+BM\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2BE< BC+BA\\2CF< CA+CB\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow2\left(AM+BE+CF\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\Rightarrow AM+BE+CF< AB+BC+CA\)--->ĐPCM
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG=\frac{2}{3}AM,BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CF\)
Xét tam giác AGB \(\Rightarrow AB< AG+BG=\frac{2}{3}\left(AM+BE\right)\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC< \frac{2}{3}\left(BE+CF\right)\\CA< \frac{2}{3}\left(CF+AM\right)\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow AB+BC+CA< 2.\frac{2}{3}\left(AM+BE+CF\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BE+CF\)--->ĐPCM
Tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G
Ta có: AM= 3/2 AG, BN=3/2 BG, CP=3/2 CG.... Ta sẽ chứng minh: AM+BN>CP <=> AG+BG>CG
Chứng minh: Trên tia đối của PG lấy sao cho PQ=PG hay GQ=GC
Tam giác AQB = t.giác BGA ( tự chứng minh) => AQ=BG
Xét t.giác AQG, có: AG+ AQ> GQ ( bất đẳng thức trong tam giác)
=> AG + AQ > CG => .....
Bạn phải vẽ hình đấy ,....