Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.+ \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\)
\(\Rightarrow2n+1>\sqrt{4n\left(n+1\right)}=2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
+ \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)
1. + \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=2\cdot\frac{n+1-\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Do đó : \(A< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(\Rightarrow A< 2\)
Bài 2 tạm thời chưa nghĩ ra :))
mk nhớ lm bài tương tự thế này r` bn chịu khó mở ra xem lại ở đây olm.vn/?g=page.display.showtrack&id=424601&limit=260, ấn vào chữ Trang tiếp theo để tìm thêm nhé
\(\Leftrightarrow\)A=\(\left|x-2010\right|+\left|x-2011\right|\)=\(\left|x-2010\right|+\left|2011-x\right|\)\(\ge\)\(\left|x-2010+2011-x\right|\)=1
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-2010\ge0\\2011-x\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2010\\x\le2011\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(2010\le x\le2011\)
Vậy Min A =1 \(\Leftrightarrow2010\le x\le2011\)
Đặt B là tên biểu thức
Với mọi n thuộc N*, ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\) (*)
Áp dụng (*), ta được:
\(B< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)=2-\frac{1}{\sqrt{2013}}< 2\)
Đặt : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\\b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=7\end{cases}\Rightarrow}a,b}\)là nghiệm của PT : \(x^2-3x-7=0\)
Ta cần chứng minh : \(\left(\frac{3-\sqrt{37}}{2}\right)^n+\left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^n=a^n+b^n\in Z\)( * )
Thật vậy :
\(+n=1\)( * ) đúng
Giả sử * đúng vs n = k nghĩa là : \(a^k+b^k\in Z\)
Vậy ta cần CM : \(a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)
Do \(a^{k+1}+b^{k+1}=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{k-1}+b^{k-1}\right)\)
Mà \(\hept{\begin{cases}a^k+b^k\in Z\\a^{k-1}+b^{k-1}\in Z\\ab\in Z\end{cases}}\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}\in Z\)
Vậy * đúng với mọi n nguyên dương
ĐỀ THIẾU số mũ 2010 kìa
Đặt \(a=\frac{3-\sqrt{37}}{2},b=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)
Có \(\hept{\begin{cases}ab=-14\in Z\\a+b=3\in Z\end{cases}}\)
ta đi c/m bổ đề vs a+b nguyên, ab nguyên thì a^n+b^n nguyên,
c/m:Có \(a^n+b^n=\left(a+b\right)^n-\text{ C1n a^(n-1)b + C2n a^(n – 2)b^2 + … + Cnn – 1 ab^(n – 1) }\)
Do a+b nguyên , ab nguyên nên a^n+b^n nguyên
áp dụng bài toán trên với n=2010 => dpcm
với Cnn là tổ hợp châp n của n với n chyaj từ 1 đến n