\(\left(a+b+c\right)^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 9 2018

Sửa đề : CM \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Ta có : \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a^3+b^3+3a^2b+3b^2a\right)+c^3-3a^2b-3b^2a-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=VP\)

\(\left(đpcm\right)\)

24 tháng 7 2018

a)  \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+c^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)

b)  \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)

Câu 1: 

a: \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)

\(=a^3+b^3\)

b: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

26 tháng 3 2017

a)\(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\) tương tự ta có ĐPCM

b)chính nó là BĐT Schur bậc 3 cách c/m nhiều vô kể

27 tháng 3 2017

b ơi giải đầy đủ giúp m đc ko?

còn câu b) thì c/m giúp m cách nào đó nhavui

m mới học phần này nên chưa chắc kiến thức lắm nên giúp m nhahihi

a: \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

\(=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\)

\(=a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\)

b: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)

\(=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

c: \(\left(ax+b\right)^2+\left(a-bx\right)^2+c^2x^2\)

\(=a^2x^2+b^2+a^2+b^2x^2+c^2x^2\)

\(=a^2\left(x^2+1\right)+b^2\left(x^2+1\right)+c^2x^2\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)+c^2x^2\)

6 tháng 2 2017

Biến đổi vế trài ta có

a3+b3+c3-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)

=(a+b)(a2-ab+b2)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c3

=(a+b)(a+b)2+c3-3ab(a+B+c)

=......................

Bn cứ nhóm lại là = vế phải.

10 tháng 3 2017

bạn thiếu dấu cộng giữa b2 và cvì vậy vế phải là (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-bc-ac)

Ta có : a3+b3+c3 -3abc = (a+b)3 -3ab(a+b)+c3 -3abc = (a+b)3 +c3  -3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)3 -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)((a+b+c)2-3(ac+bc)-3ab)

                                   =(a+b+c)(a2+b2+c2 +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )

                                   =(a+b+c)(a2+b+c2-ab-bc-ac)=vp (đpcm)

6 tháng 6 2017

\(a,\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)=2a^3\Rightarrowđpcm\)

\(b,\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)\Rightarrowđpcm\)

\(c,\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\)\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Rightarrowđpcm\)

18 tháng 8 2017

a) (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)(a2+ab+b2)

= a3+b3+a3-b3 = 2a3

b) a3+b3

= (a+b)(a2-ab+b2)

= (a+b)(a2- 2ab+b2)+ab

= (a+b)(a2-b2)+ab

29 tháng 7 2020

VT = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc

= (a + b)(a2 + 2ab + b2 - 3ab) + c3 - 3abc

= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc

= (a + b+ c)[(a + b)2 - c(a + b) + c2] - 3ab(a + b+  c)

= (a + b + c))(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3abc)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = VP

=> ĐPCM

29 tháng 7 2020

Sửa đề :

VP= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

     =a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2+ba2+b3+bc2-ab2-b2c-abc+ca2+cb2+c3-abc-bc2-c2a

     =a3+b3+c3-3abc

Cách này đỡ phức tạp hơn cách của edogawa conan

23 tháng 7 2019

a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)

b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

\(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)

c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tương tự câu b ta có a = b = c