Question

[Nguyễn Thị Hạnh]

Bài 4. (2,5 điểm)

Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O;  R )$. Gọi $MA,  MB$ là hai tiếp tuyến với đường tròn $(O )$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính $AD$ của $(O )$. Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$, $I$ là trung điểm của $BD$.

a) Chứng minh $OHBI$ là hình chữ nhật.

b) Cho biết $OI$ cắt $MB$ tại $K$. Chứng minh $KD$ là tiếp tuyến $(O)$.

c) Giả sử $OM=2R$. Tính chu vi $\Delta AKD$ theo $R$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

Xét tứ giác OHBI có \(\widehat{OHB}=\widehat{OIB}=\widehat{HBI}=90^0\)

nên OHBI là hình chữ nhật

b: ΔOBD cân tại O

mà OI là đường cao

nên OI là phân giác của góc BOD

Xét ΔODK và ΔOBK có

OD=OB

\(\widehat{DOK}=\widehat{BOK}\)

OK chung

Do đó: ΔODK=ΔOBK

=>\(\widehat{ODK}=\widehat{OBK}\)

=>\(\widehat{ODK}=90^0\)

=>KD là tiếp tuyến của (O)

c: Xét ΔOBM vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OB^2\)

=>\(OH=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)

ΔOHB vuông tại H

=>\(OH^2+BH^2=OB^2\)

=>\(BH=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

mà BH=OI

nên \(OI=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

ΔOBD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BD

Ta có: OH=BI

mà BI=ID(I là trung điểm của BD)

nên OH=DI

=>DI=R/2

Xét ΔODK vuông tại D có DI là đường cao

nên \(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DO^2}+\dfrac{1}{DK^2}\)

=>\(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{R}{2}\right)^2}-\dfrac{1}{R^2}=\dfrac{1}{\dfrac{R^2}{4}}-\dfrac{1}{R^2}=\dfrac{3}{R^2}\)

=>\(DK=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\)

ΔADK vuông tại D

=>\(DA^2+DK^2=AK^2\)

=>\(AK=\sqrt{\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(2R\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{39}}{3}\)

Chu vi tam giác ADK là:

AD+DK+AK

\(=2R+\dfrac{R\sqrt{3}}{3}+\dfrac{R\sqrt{39}}{3}=R\left(2+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{3}\right)\)