Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (vì a+b+c = 1)
\(=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
C/m BĐT phụ: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với x,y dương
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Áp dụng BĐT trên ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\) \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2;\) \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow\)\(VT=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ab-a-b-1=(a-1)(b-1)
bc-b-c-1=(b-1)(c-1)
ca-a-c-1=(c-1)(a-1)
nhân lại ta được (a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2
do đó suy ra đầu bài
ta có ab-a-b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) (1)
tương tự bc-b-c+1=(b-1)(c-1) (2) ; ca-c-a+1=(c-1)(a-1) (3)
từ (1),(2),(3) suy ra (ab-a-b+1)(bc-b-c+1)(ca-c-a+1)=(a-1)(b-1)(b-1)(c-1)(c-1)(a-1)=\(^{\left(a-1\right)^2}\)\(^{\left(b-1\right)^2}\)\(^{\left(c-1\right)^2}\)>=0 với mọi a;b;c
suy ra các biểu thức đã cho ko thể cùng có giá trị âm
mk trả lời có giif sai sót thì xin bỏ quá cho nha link cho mk nhé thanks
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
#)Giải :
a) Để C/m a và b là hai số đối nhau => a + b = 0
Ta có : \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0a\Leftrightarrow a+b=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
\(\sum\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}\ge0\Leftrightarrow\sum\frac{a\left(3-3b\right)}{1+ab}\ge0\Leftrightarrow\sum\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}\ge0\)
Ta có:
\(VT=\sum\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}=\sum\left(a-\frac{ab\left(1+a\right)}{1+ab}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab\left(1+a\right)}{2\sqrt{ab}}\right)\)
\(VT\ge\sum\left(a-\frac{1}{4}\left(2.1.\sqrt{ab}+2.a.\sqrt{ab}\right)\right)\ge\sum\left(a-\frac{1}{4}\left(1+ab+a^2+ab\right)\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
