Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
#: Lỡ hẹn với Mincopxki rồi xài cách khác vậy :(
Đặt \(a=\frac{2x}{3};b=\frac{2y}{3};c=\frac{2z}{3}\)
Khi đó ta có \(xy+yz+xz\ge3\) và cần chứng minh
\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\)
\(=\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\sqrt{\left(\frac{4}{9}+\frac{9}{25}\right)\left(\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}\right)}\ge\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\)
Giờ chỉ cần chứng minh \(\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)
\(\Leftrightarrow20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)\ge\frac{543}{5}\)
Đặt tiếp \(x+y+z=3u;xy+yz+xz=3v^2\left(v>0\right)\)
Vì thế \(u\ge v\ge1\)và áp dụng BĐT C-S dạng Engel ta có:
\(20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)-\frac{543}{5}\)
\(\ge20\left(x+y+z\right)+81\cdot\frac{\left(1+1+1\right)^2}{Σ_{cyc}\left(2x+3\right)}-\frac{543}{5}=60u+\frac{729}{6u+9}-\frac{543}{5}\)
\(=3\left(20u+\frac{81}{2u+3}-\frac{181}{5}\right)=\frac{6\left(u-1\right)\left(100u+69\right)}{5\left(2u+3\right)}\ge0\)
Điều này đúng tức là ta có ĐPCM
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
a/ \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT dc chứng minh
b/ Xét vế trái : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{\left(a+b\right)}{2}\left(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\); \(a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\); \(b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
Từ đó nhân các vế lại suy ra đpcm
Kết hợp Mincôpxki và C-S:
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{a+c}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{\frac{405}{4\left(a+b+c\right)^2}+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\frac{405}{12\left(a^2+b^2+c^2\right)}+2\sqrt{\frac{81\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}}=\sqrt{\frac{405}{12.3}+18}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3a\right)}}\) (nhân 2 vào cả tử và mẫu)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3a}{2}}=\frac{4\left(a+b\right)}{8\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\) (áp dụng BĐT Cô si vào cái mẫu)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4a=a+3b\\4b=b+3a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
\( \sqrt {4a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{4a + 3a + b}}{2} = \dfrac{{7a + b}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} \le \dfrac{{7a + b}}{4}\\ \sqrt {4b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{4b + 3b + a}}{2} = \dfrac{{7b + a}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} \le \dfrac{{7b + a + 7a + b}}{4} = 2\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \dfrac{1}{2} \)
Dấu "=" xảy ra\(\left\{{}\begin{matrix}4a=3a+b\\4b=3b+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b\)
ĐK a,b không âm
Ta có
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{a+b}{2}\left(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\right)\ge\sqrt{ab}\left(2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4}}+2\sqrt{b\cdot\frac{1}{4}}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)