chứng minh: \(\frac{a^6+b^9}{4}\ge3a^2b^3-16\)với b>0 và a tùy ý

\(\frac{a^6+b^9}{4}\ge3a^2b^3-16\)

với b>0 và a tùy ý

">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

T

Trần

11 tháng 8 2016

chứng minh: \(\frac{a^6+b^9}{4}\ge3a^2b^3-16\)

với b>0 và a tùy ý

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

NP

Nguyễn Phương HÀ

11 tháng 8 2016

Hỏi đáp Toán

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NC

NGỌC CẨM

7 tháng 3 2019

1/cho số a >0 tìm GTNN của P = 2a +\(\frac{4}{a}\)+\(\frac{16}{a+2}\) 2/ cho a,b,c là số thực ϵ [0;\(\frac{1}{4}\)) chứng minh: \(\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\) 3/ cho các số dương a,b,c tỏa abc = 1. Chứng...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

4

CM

Copxki Minh

15 tháng 11 2020

1)

\(2a+\frac{4}{a}+\frac{16}{a+2}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left[\left(a+2\right)+\frac{16}{a+2}\right]-2\ge4+8-2=10\)

Dấu "=" xảy ra khi a=2

CM

Copxki Minh

15 tháng 11 2020

2)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a\left(1-4a\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4a\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4a+1-4a}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{b\left(1-4b\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4b+1-4b}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{c\left(1-4c\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4c\left(1-4c\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4c+1-4c}{2}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)

TT

Trương Thái Hậu

1 tháng 12 2019 - olm

Chứng minh rằng

\(\frac{a^4}{b^2c}+\frac{b^4}{c^2a}+\frac{c^4}{a^2b}\ge a+b+c\)

với \(\forall a,b,c>0\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

PM

Phùng Minh Quân

1 tháng 12 2019

Có: \(\frac{a^4}{b^2c}+\frac{b^4}{c^2a}+b\ge\frac{3ab}{c}\)

Tương tự, ta cũng được: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^4}{b^2c}\ge\frac{3}{2}\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}-\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}a\)

Cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}\ge\Sigma_{cyc}a\)

Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)

Tương tự, ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

HT

Huy Trần

25 tháng 1 2016

1)cho x>2 và y>0.chứng minh rằng:\(\frac{x+y^2}{2y}\)-\(2\sqrt{2}\)=>\(\frac{y}{2-x}\)2)Cho a>4 và b>4.Chứng minh rằng:\(a\sqrt{b-4}\)+\(b\sqrt{a-4}\)<=\(\frac{ab}{2}\)3)Cho a>0,b>0 và a+b=>2.chứng minh...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

2

DA

Đặng Anh Huy 20141919

25 tháng 1 2016

Bất đẳng thức, bất phương trình

VT

vân trần

27 tháng 1 2016

Bất đẳng thức, bất phương trình

LH

Lê Huy Hoàng

1 tháng 1 2020

1/ cho a,b,c >0

a+b+c=3:

chứng minh : \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\) ≥ \(\frac{3}{4}\)

2/a,b,c>0

a+b+c=6

chứng minh : S= \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\) ≤ 6

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

AT

Aki Tsuki

1 tháng 1 2020

1/ a/dung bđt Cauchy - Schwarz dạng phân thức: \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{4}\)

2/ a/dung bđt bunhiacopxki :

\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=3\cdot2\left(a+b+c\right)=6\cdot6=36\)

=> \(S\le6\)

AR

Agami Raito

5 tháng 4 2019

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\)≥\(1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2019

Cho \(a=b=c\) ta có:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow1\ge2\)

Bất đẳng thức sai

D

DRACULA

13 tháng 12 2019

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\(\sqrt[3]{\frac{3}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{9}{a^2b+b^2c+c^2a}}\ge2\sqrt[3]{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

0

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

Cho a,b>0 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau: a)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\) với a,b,c>0 b)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\) với a,b,c>0 c)Cho a,b,c>0 tm \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) . CM \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\) d) Cho a,b,c là độ...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

2

T

tthnew

13 tháng 2 2020

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Cách làm tương tự câu a.

c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)

d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

lm phần d đi a k bt lm

Q

qưet

29 tháng 2 2020

1:Cho x;y>0:\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\).Tìm min P=x+y 2:Cho x;y;z>0:x+y+z\(\le\)1.Chứng minh\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\) 3:cho a;b;c;d>0.Chứng minh\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\) 4:Tìm max,min y=x+\(\sqrt{4-x^2}\) 5:Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\) 6:Chứng...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

29 tháng 2 2020

1.

\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá

2.

\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)

\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

29 tháng 2 2020

3.

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)

Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)

Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)

4.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)

\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)

Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)

\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)

CC

Chí Cường

2 tháng 7 2019

Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có: \(\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+c^2a}\ge\frac{abc\left(a+b+c\right)}{1+abc}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

0