Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)
Đặt \(a^2+ab+ac=t\)
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)
Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm
Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\) và \(bc=0\)
Sửa đề: a,b,c,d>0
C/m: \(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(c+d\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left[\frac{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{2}\right]^2\ge\left[\frac{2.\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}{2}\right]^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
Dấu " = " xảy ra <=> a+c=b+d
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
VT =\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2\)
=\(\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ca+a^2\right)\)
=\(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2=VP\)
=> đpcm
a) Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2+\left(a+c-b\right)^2+\left(a+b-c\right)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ac+a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac+a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
\(=a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2\)
\(=4a^2+4b^2+4c^2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) Đặt x = b + c - a
y = c + a - b
z = a + b - c
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=x+y+z\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-x^3-y^3-z^2\)
\(=3x^2y+3xy^2+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)
\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)
\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left[z^2+xy+xz+yz\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left[z\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(=3.2a.2b.2c\)
\(=24abc\) (đpcm)
Lời giải:
1)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)
2)
Ghi đầy đủ đề:
\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a. \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow a=-b\) (đpcm)
b. \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2=\left(b-1\right)^2=\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-1=b-1=c-1=0\Leftrightarrow a=b=c=1\)
c. \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tương tự câu b ta có a = b = c
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)