Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
với mọi x,y ta luôn có:
\(x^2+y^2\ge2xy\left(1\right)\)
cộng cả 2 vế bđt cho \(x^2+y^2\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+x^2+y^2\ge x^2+y^2+2xy\)
hay \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\)đpcm
2(x2 + y2) \(\ge\) (x + y)2
\(\Leftrightarrow\) 2(x2 + y2) - (x + y)2 \(\ge\) 0 (Trừ cả hai vế với (x + y)2)
\(\Leftrightarrow\) 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) x2 - 2xy + y2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x - y)2 \(\ge\) 0
Vì (x - y)2 \(\ge\) 0 nên 2(x2 + y2) \(\ge\) (x + y)2
Chúc bn học tốt!!
Ô hay, em vừa tìm ra một cách chứng minh cho BĐT (2) nè:
Do x, y, z có vai trò hoán vị vòng quanh, không mất tính tổng quát giả sử \(y=min\left\{x,y,z\right\}\)
\(VT-VP=\frac{27y\left(y-z\right)^2+\left(4x+16z-11y\right)\left(y+z-2x\right)^2}{4}\ge0\)
Cái này gọi là mò:D
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
a) Ta có: \(\left(\frac{1}{3}+2x\right)\left(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\)
\(=\left(2x\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^3-8x^3+\frac{1}{27}\)
\(=8x^3+\frac{1}{27}-8x^3+\frac{1}{27}\)
\(=\frac{2}{27}\)
Vậy: Giá trị của biểu thức \(\left(\frac{1}{3}+2x\right)\left(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\) không phụ thuộc vào biến
b) Ta có: \(\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3\left(1-x\right)x\)
\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3-1\right)-3x\left(1-x\right)\)
\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3+1-3x+3x^2\)
\(=0\)
Vậy: Giá trị của biểu thức \(\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3\left(1-x\right)x\) không phụ thuộc vào biến
c) Ta có: \(y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
\(=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
\(=yx^4-y^5-yx^4+y^5\)
\(=0\)
Vậy: Giá trị của biểu thức \(y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)\) không phụ thuộc vào biến