KH
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
15 tháng 2 2020
Với a,b,c \(\ge\) 0, ta có:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-\frac{2}{\sqrt{ab}}-\frac{2}{\sqrt{bc}}-\frac{2}{\sqrt{ca}}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)(đúng)
28 tháng 7 2017
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2019
Với a; b dương chứ nhỉ, nằm dưới mẫu thêm điều kiện khác 0, mà không âm + khác 0 thì nó là dương còn gì?
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le\sqrt[3]{2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^3\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}=x\ge2\) BĐT tương đương:
\(x^3\le2\left(x^3-3x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-6x+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+2x-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x^2+x+x-2\right]\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(x=2\Leftrightarrow a=b\)
7 tháng 10 2017
xét VT = \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{a-a-1}\) + \(\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}}{a+1-a+2}\) + \(\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a+3}}{a+2-a-3}\)
= \(-\)\(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+2}+\sqrt{a+3}\)
= \(\sqrt{a+3}-\sqrt{a}\)
= \(\frac{\sqrt{a+3}^2-\sqrt{a}^2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)
=\(\frac{a+3-a}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\) =\(\frac{3}{\sqrt{a+3}\sqrt{a}}\) = VP \(\Rightarrow\) đpcm
26 tháng 6 2016
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Cộng 2 vế BĐT :
\(a-2\sqrt{a}+\frac{1}{4}\ge\sqrt{\frac{1}{a}}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-1\right)-\frac{7}{4}\)( 2 )
Ta có : \(\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-1\right)^2-\frac{7}{4}\le\frac{-7}{4}< 0\)
=> ( 2 ) đúng => BDDT đúng
Đề sai.
Bạn thế a = 1 sẽ thấy ngay
\(1-2.\sqrt{1}\ge\sqrt{\frac{1}{1}}-\frac{1}{1}\)
\(\Leftrightarrow-1\ge0\) cái này đúng bằng niềm tin ah.