Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a;b;c > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}}{2}=\frac{a+b}{4}\) (1)
\(\frac{bc}{b+c}\le\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{bc}}{2}\le\frac{\frac{b+c}{2}}{2}=\frac{b+c}{4}\) (2)
\(\frac{ac}{a+c}\le\frac{ac}{2\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{ac}}{2}\le\frac{\frac{a+c}{2}}{2}=\frac{a+c}{4}\) (3)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Ta có \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a+b}}.\sqrt{\frac{bc}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi rút gọn ta được \(VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1/3
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Ta có: \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\frac{\left(ab+ca\right)^2}{2a^2}+\frac{\left(bc\right)^2}{bc}=\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+bc\)
Tương tự rồi cộng lại ta thu được:
\(L.H.S\le\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{2}+ab+bc+ca\)
\(=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2}+ab+bc+ca\)\(=\left(a+b+c\right)^2\)
P/s: Nhìn đơn giản chứ nó là bao nhiêu ngày suy nghĩ đấy ạ:( Chả biết đúng hay sai nữa:v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
ta có\(\frac{ab}{a+b}=\frac{4ab}{4\left(a+b\right)}=\frac{2ab+2ab}{4\left(a+b\right)}\le\frac{a^2+b^2+2ab}{4\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\)
CMTT ta được \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}và\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)
=>\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+b+c+c+a}{4}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)