LM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 4 2017
Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\) a,b,c > 0
Vì a,b,c > 0,Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta được:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)(1)
Mà \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\) = \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)=\(\dfrac{a+b+c}{2}\)(2)
Từ (1),(2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\geq\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
5 tháng 1 2018
Cách 2 : Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a+b}{4}>0,\dfrac{b+c}{4}>0,\dfrac{c+a}{4}>0\)
Áp dụng bất dẳng thức AM - GM cho các số không âm , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge a\)
\(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\)
\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)
Trừ cả hai vế cho \(\dfrac{a+b+c}{2}\) , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
8 tháng 4 2018
Áp dụng \(x^2+y^2\ge2xy\)
Ta có: \(\left(a^2+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
21 tháng 7 2020
Với a,b,c > 0
Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương \(\frac{a^2}{b^2}\)và \(\frac{b^2}{c^2}\), ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=2\frac{a}{c}\) (1)
CMTT: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{c}{b}\)(2)
\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{a}{c}+2\frac{c}{b}+2\frac{b}{a}\)
<=> \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
<=> \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
F
27 tháng 9 2020
a,Ta có:\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(a^2+c^2\ge2ac\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
Cộng theo từng về 3 bđt trên ta đc:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Xảy ra dấu đt khi \(a=b=c\)
b,\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(chia cả 2 vế cho \(a+b>0\))
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Xảy ra dấu đẳng thức khi \(a=b\)
c,\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\forall a,b,c\)
Xảy ra đẳng thức khi \(a=b=c=0\)
27 tháng 9 2020
Phần b mình tặng thêm một cách giải không dùng biến đổi tương đương:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
Dấu bằng tại a=b
6 tháng 4 2017
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{2}\)
T
1 tháng 8 2019
#)Giải :
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}=x\\\frac{bc}{a}=y\\\frac{ca}{b}=z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=xz\\b^2=xy\\c^2=yz\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+xz=3}\)
Theo hệ quả của BĐT Cauchy :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\) hay \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = 1
HZ
23 tháng 3 2017
a) Xét hiệu : VT - VP
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) _ ab = \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\)- \(\dfrac{4ab}{4}\)
= \(\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\) = \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\)
Có : (a - b )2 \(\ge\) 0 => \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\) \(\ge\) 0 .
(bất phương trình đúng ) .
=> VT - VP \(\ge\) 0 => ( \(\dfrac{a+b}{2}\))2 \(\ge\) ab .
b) Xét hiệu ; VP - VT
= \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)-(\(\dfrac{a+b}{2}\))2
= \(\dfrac{2a^2+2b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)}{4}\)
= \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\) .
Có : (a-b)2 \(\ge\) 0 => \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\) \(\ge\) 0 .
VP - VT \(\ge\) 0 .
Vậy ( \(\dfrac{a+b}{2}\) )2 \(\le\) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) .
