Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
a) Giả sử bất đẳng thức trên là đúng \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c), ta có ĐPCM câu b tương tự nha bn!
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
Khi a=b=c
Bài 3:
Áp dụng BĐT C-S dạng ENgel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM
Khi x=y=z
a,b dể tự làm nha
c)ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2ab-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) mà a+b=1
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) mà \(ab\le\frac{1}{4}\)
tahy vào có \(a^2+b^2\ge2\times\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
BĐT chỉ đúng với x;y;z dương
Trước hết ta chứng minh:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Do đó:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) (đpcm)
Bài 2 : đã cm bên kia
Bài 1: :|
we had điều này:
\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)
Xòng! bunyakovsky
P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<
Đề phải cho x,y,z ; a,b,c >0 chứ bạn ơi
Xét A = (a^2/x + b^2/y + c^2/z) . (x+y+z) = [(a/\(\sqrt{x}\))^2+(b/\(\sqrt{y}\))^2+(c/\(\sqrt{z}\))^2 . (\(\sqrt{x}\)2 + \(\sqrt{y}\)2 + \(\sqrt{z}\)2)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :
A >= (a/\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\)+b/\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\)+c/\(\sqrt{z}\).\(\sqrt{z}\))^2 = (a+b+c)^2
=> a^2/x + b^2/y + c^2/z >= (a+b+c)^2/x+y+z
=> ĐPCM
k mk nha
Nhầm chỗ \(\sqrt{z}\)2 nha . đó là \(\sqrt{z}\)2
k mk nha