TP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
12 tháng 12 2016
\(2a^2+3ab+2b^2=2\left(a-b\right)^2+7ab....\) chia hết cho 7=> a-b chia hết cho 7
=> (a-b)(a+b) chia hết cho 7 hay a2-b2 chia hết cho 7.
MV
27 tháng 8 2022
sao từ a-b chia hết cho 7 lại suy r dc (a-b)(a+b) cũng thế v bn
MT
3
KN
10 tháng 1 2020
Ta có: \(a^6-1=\left(a^3+1\right)\left(a^3-1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
* a không chia hết cho 7 nên a có 6 dạng: 7k + 1; 7k + 2; 7k + 3; 7k + 4; 7k + 5; 7k + 6
+) a = 7k + 1
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(7k+1-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=7k\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 2
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+2\right)^2=49k^2+28k+4\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+28k+4+7k+2+1\right)\)
\(=49k^2+35k+7⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 3
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+3\right)^2=49k^2+42k+9\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+42k+9-7k-3+1\right)\)
\(=49k^2+35k+7⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 4
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+4\right)^2=49k^2+56k+16\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+56k+16+7k+4+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+63k+21\right)⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 5
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+5\right)^2=49k^2+70k+25\)
\(\Rightarrow a^2-a+1=\left(49k^2+70k+25-7k-5+1\right)\)
\(=\left(49k^2+63k+21\right)⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 6
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+6\right)^2=49k^2+84k+36\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+84k+36+7k+5+1\right)\)
\(=49k^2+91k+42⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
Vậy \(a^6-1⋮7\)với mọi a không là bội của 7
22 tháng 5 2020
a, Giả sử \(x,y \vdots 3\)
=> \(x^2 ;y^2 \) : 3 dư 1
=> \(z^2 = x^2+y^2 \) : 3 dư 2 ( vô lý vì \(z^2\) là số chính phương )
Vậy \(x\vdots 3y\vdots 3 => xy \vdots 3\)
Chứng minh tương tự \(xy \vdots 4\)
\((3;4) =1 => xy \vdots 12\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
8 tháng 12 2023
Bài 1:
cho a2 + b2 ⋮ 3 cm: a ⋮ 3; b ⋮ 3
Giả sử a và b đồng thời đều không chia hết cho 3
Vì a không chia hết cho 3 nên ⇒ a2 : 3 dư 1
vì b không chia hết cho b nên ⇒ b2 : 3 dư 1
⇒ a2 + b2 chia 3 dư 2 (trái với đề bài)
Vậy a; b không thể đồng thời không chia hết cho ba
Giả sử a ⋮ 3; b không chia hết cho 3
a ⋮ 3 ⇒ a 2 ⋮ 3
Mà a2 + b2 ⋮ 3 ⇒ b2 ⋮ 3 ⇒ b ⋮ 3 (trái giả thiết)
Tương tự b chia hết cho 3 mà a không chia hết cho 3 cũng không thể xảy ra
Từ những lập luận trên ta có:
a2 + b2 ⋮ 3 thì a; b đồng thời chia hết cho 3 (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2017
Lời giải:
Đặt \(A=a^7+3b^7-2c\)
Ta có: \(\frac{5b+2c(4+c^6)}{a+b+c}=1\)
\(\Leftrightarrow 5b+2c(4+c^6)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow 4b+7c+2c^7=a\)
----------------------------------------
Ta có bổ đề sau: Với mọi số tự nhiên $n$ nào đó thì \(n^7\equiv n\pmod 7\)
Chứng minh :
Thật vậy.
Với \(n\equiv 0\pmod 7\) thì \(n^7\equiv 0\equiv n\pmod 7\)
Với \(n\not\equiv 0\pmod 7\) hay \((n,7)=1\). Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
\(n^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^7\equiv n\pmod 7\)
Ta có đpcm.
--------------------
Quay trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(A=a^7+3b^7-2c\equiv a+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 4b+7c+2c^7+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 7b+7c\equiv 0\pmod 7\)
Hay \(A\vdots 7\)
Chứng minh hoàn tất.
a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k thuộc Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k thuộc Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k thuộc Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k thuộc Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 - a chia hết cho 7
Trước tiên ta phân tích \(a^7-a\)thành nhân tử
\(=\left(a^7+a^6+a^5\right)-\left(a^6+a^5+a^4\right)+\left(a^4+a^3+a^2\right)-\left(a^3+a^2+a\right)\)
\(=a^5\left(a^2+a+1\right)-a^4\left(a^2+a+1\right)+a^2\left(a^2+a+1\right)-a\left(a^2+a+1\right)\)
\(=\left(a^5-a^4+a^2-a\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left(a^4-a^3+a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=a\left(a^4+a-\left(a^3+1\right)\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left\{a\left(a^3+1\right)-\left(a^3+1\right)\right\}\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
Với a là số chẵn thì a có dạng 2n
Khi đó \(a^2+a+1=4n^2+2n+1=2n\left(2n+1\right)+1⋮7\)....(Bí khúc này mình vẫn chưa nghỉ ra cách chứng minh )