Question

[Nguyễn Quỳnh Chi]

cho biết 10a +b chia hết cho13 (a,b ∈ ℕ). Chứng minh rằng a+4b chia hết cho13

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số phép biến đổi đại số và tính chất chia hết.

Giả thiết: 10a + b chia hết cho 13 (10a + b ⋮ 13)

Cần chứng minh: a + 4b chia hết cho 13 (a + 4b ⋮ 13)

Chứng minh:

1. Nhân (a + 4b) với 10:
2. • 10(a + 4b) = 10a + 40b
3. Tách 40b thành b + 39b:
4. • 10a + 40b = 10a + b + 39b
5. Thay giả thiết vào:
6. • Vì 10a + b ⋮ 13 (theo giả thiết), nên 10a + b + 39b cũng chia hết cho 13 nếu 39b chia hết cho 13.
7. Kiểm tra 39b:
8. • 39 ⋮ 13 (vì 39 = 13 × 3), nên 39b ⋮ 13 với mọi số tự nhiên b.
9. Kết luận:
10. • Do đó, 10a + b + 39b ⋮ 13.
    • Vì 10a + b + 39b = 10(a + 4b), nên 10(a + 4b) ⋮ 13.
    • Vì 10 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên a + 4b ⋮ 13.

Vậy, nếu 10a + b chia hết cho 13 thì a + 4b cũng chia hết cho 13.