K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 1 2015
áp dụng AM-GM
a2+4>=4a
b2+4>=4b
c2+4>=4c
d2+4>=4d
nhân vế suy ra ĐPCM
NT
0
TT
31 tháng 8 2020
Một cách khác mà hôm nay ngủ dạy lại nghĩ ra :))
Áp dụng liên tiếp BĐT Svacxo cho 3 các số dương ta được :
\(\left(a+b\right)^4+\left(b+c\right)^4+\left(c+a\right)^4\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^4}{1}+\frac{\left(b+c\right)^4}{1}+\frac{\left(c+a\right)^4}{1}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]^2}{1+1+1}\)
\(=\frac{\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]^2}{3}=\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{1}+\frac{\left(b+c\right)^2}{1}+\frac{\left(c+a\right)^2}{1}\right]^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{3}\right]^2}{3}=\frac{\left(\frac{2^2}{3}\right)^2}{3}=\frac{16}{27}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
TT
31 tháng 8 2020
Ta đi chứng minh BĐT : \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
BĐT trên tương đương : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
+) Ta xét : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\)\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\) (*)
Lại có : \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Nên từ (*) suy ra \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right)^2}{3}=\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}\)
Áp dụng vào bài toán với \(\hept{\begin{cases}x=a+b\\y=b+c\\z=c+a\end{cases}}\) ta có :
\(\left(a+b\right)^4+\left(b+c\right)^4+\left(c+a\right)^4\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^4}{27}=\frac{2^4}{27}=\frac{16}{27}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy BĐT được chứng minh !
.
HL
2
MT
11 tháng 8 2015
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2a+2b+2c+2d\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+d^2-2d+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\)\(\left(\text{luôn đúng với mọi a,b,c,d}\right)\)
\(\text{Vậy }a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1}\)
ML
11 tháng 8 2015
Cách khác cho bạn nè:
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm ta có:
\(a^2+1\ge2a\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(c^2+1\ge2c\)
\(d^2+1\ge2d\)
Cộng vế với vế ta được a2+1+b2+1+c2+1+d2+1>2a+2b+2c+2d
=>a2+b2+c2+d2+4>2(a+b+c+d)
15 tháng 9 2018
ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(a^2+1+1+1\right)\left(1+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+1\right)\ge\left(1.a+\frac{b+c}{2}.1+\frac{b+c}{2}.1+1.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
MẶT KHÁC ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:
\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=3b^2+3c^2+b^2c^2+1+8=2b^2+2c^2+\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2c^2+1\right)+8\)
\(\ge2b^2+2c^2+2bc+2bc+8=2\left(b+c\right)^2+8=4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\)
NHƯ VẬY:
\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\left(a^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=1
T
8 tháng 6 2019
Ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại trong ba số\(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) tồn tại ít nhất hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát,giả sử rằng \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8=4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+1+c^2\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki suy ra \(VT\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Đúng không ạ???
ND
30 tháng 6 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
Lại áp dụng tương tự ta có:
\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
ND
30 tháng 6 2018
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{c^3}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
p/s: không chắc lắm, có gì sai xót xin giúp đỡ
PT
0
ĐẾ sai