Question

[Kaneki Ken]

Chứng minh :

\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)chia hết cho 10

Dùng đồng dư thức

Answer 1

[Lê Chí Cường]

Ta thấy: 7 đồng dư với 1(mod 2)

=>7⁷ đồng dư với 1⁷(mod 2)

=>7⁷ đồng dư với 1(mod 2)

=>7⁷=2k+1

=>\(7^{7^7}=7^{2k+1}\)

7 đồng dư với 3(mod 4)

=>7 đồng dư với -1(mod 4)

=>7² đồng dư với (-1)²(mod 4)

=>7² đồng dư với 1(mod 4)

=>(7²)^k đồng dư với 1^k(mod 4)

=>7^2k đồng dư với 1(mod 4)

=>7^2k.7 đồng dư với 1.7(mod 4)

=>7^2k+1 đồng dư với 7(mod 4)

=>7^2k+1 đồng dư với 3(mod 4)

=>7^2k+1=4m+3

=>\(7^{7^{7^7}}=7^{4m+3}\)

7⁴=2401 đồng dư với 1(mod 10)

=>(7⁴)^m đồng dư với 1^m(mod 10)

=>7^4m đồng dư với 1(mod 10)

=>7^4m.7³ đồng dư với 1.7³(mod 10)

=>7^4m+3 đồng dư với 343(mod 10)

=>7^4m+3 đồng dư với 3(mod 10)

=>\(7^{7^{7^7}}\) đồng dư với 3(mod 10)

Lại có: 7 đồng dư với 3(mod 4)

=>7 dồng dư với -1(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với (-1)⁷(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với -1(mod 4)

=>7⁷ dồng dư với 3(mod 4)

=>7⁷=4n+3

=>\(7^{7^7}=7^{4n+3}\)

7⁴=2401 đồng dư với 1(mod 10)

=>(7⁴)ⁿ đồng dư với 1ⁿ(mod 10)

=>7⁴ⁿ đồng dư với 1(mod 10)

=>7⁴ⁿ.7³ đồng dư với 1.7³(mod 10)

=>7⁴ⁿ⁺³ đồng dư với 343(mod 10)

=>7⁴ⁿ⁺³ đồng dư với 3(mod 10)

=>\(7^{7^7}\)đồng dư với 3(mod 10)

             =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\) đồng dư với 3-3(mod 10)

             =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)đồng dư với 0(mod 10)

            =>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)chia hết cho 10