Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020\)
\(\Rightarrow\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2020\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=2020\)
Ta có tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6
=> \(VT⋮6\)
Mà VP \(⋮̸\) 6
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=a\\x-z=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=1\)
\(S=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=a^2+b^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\)
\(S=a^2+b^2-2ab+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2\)
\(S\ge2\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}}+2=4\) (đpcm)
Ta có: \(x+y+z=1\) nên:
\(\Rightarrow y+z=1-x\)
Thay \(y+z=1-x\) và áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ta được:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y=x+2y+z\left(đpcm\right)\)
- Nếu \(x,y,z\)đôi một không cùng số dư khi chia hết cho \(3\), khi đó giả sử \(x\equiv0\left(mod3\right),y\equiv1\left(mod3\right),z\equiv2\left(mod3\right)\).
Ta có: \(VP\equiv0+1+2\equiv0\left(mod3\right)\)
\(VT\)không có thừa số nào chia hết cho \(3\)nên \(VT⋮̸3\)do đó mâu thuẫn.
- Nếu có hai trong ba số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Khi đó \(VT\)chia hết cho \(3\).
\(VP\)không chia hết cho \(3\)(mâu thuẫn).
Do đó cả \(3\)số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Vậy \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮\left(3.3.3\right)\)
hay ta có đpcm.
Một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0,1 hoặc 2
- Nếu x,y,z chia cho 3 có số dư khác nhau
\(\Rightarrow x-y⋮̸3;y-z⋮̸3;z-x⋮̸3\)còn \(x+y+z⋮3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)không xảy ra
- Nếu x,y,z chỉ có hai số chia cho 3 có cùng số dư
Không mất tính tổng quát,giả sử là x và y ta có :
\(x-y⋮3,x+y+z⋮̸3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)cũng không xảy ra
Do đó x,y,z chia cho 3 có cùng số dư
\(\Rightarrow x-y⋮3;y-z⋮3;z-x⋮3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{2x+y}{8}+\frac{y+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{64}}=\frac{3x}{4}\\\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{2y+z}{8}+\frac{x+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{64}}=\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{2z+x}{8}+\frac{x+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{64}}=\frac{3z}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5\left(x+y+z\right)}{8}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}+\frac{5}{8}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y^3}{\left(2y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^3}{\left(2z+x\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow P_{min}=\frac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=4\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(\le\frac{\left(x+y+y+z\right)^2}{4}\times4\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+2y+z\right)^2\left(x+z\right)\)
\(\le\left(x+2y+z\right)\times\frac{\left(x+2y+z+x+z\right)^2}{4}\)
\(=\left(x+2y+z\right)\times\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(=x+2y+z\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra:\(\hept{\begin{cases}x=z=\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)
Dễ thấy vai trò của x, y, z là như nhau.
Nếu x, y, z có số dư khi chia cho 3 lần lược là: 0, 1, 2 thì ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮̸3\\x+y+z⋮3\end{cases}}\)(loại)
Nếu x, y, z có 2 số có cùng số dư và 1 số còn lại có số dư khác 2 số đó khi chia cho 3 thì:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\\x+y+z⋮̸3\end{cases}}\)(loại)
Nếu x, y, z khi chi cho 3 có cùng số dư thì:
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮27\)
\(\Rightarrow x+y+z⋮27\)