Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O A B x y d M P N I
a/ Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta BOP\)có
\(\hept{\begin{cases}AO=BO\\\widehat{AOM}=\widehat{BOP}\\\widehat{OAM}=\widehat{OBP}=90\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta BOP\)
\(\Rightarrow OM=OP\)
Ta lại có ON vuông góc với MP
\(\Rightarrow ON\)vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta MNP\) cân tại N
\(\Rightarrow\widehat{NMP}=\widehat{NPM}\)
b/ Xét \(\Delta OIN\)và \(\Delta OBN\)có
\(\hept{\begin{cases}ON\left(chung\right)\\\widehat{OIN}=\widehat{OBN}=90\\\widehat{ONI}=\widehat{ONB}\left(\widehat{ONI}+\widehat{OMN}=\widehat{ONB}+\widehat{OPN}=90\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta OIN=\Delta OBN\)
\(\Rightarrow OI=ON=R\)
\(\Rightarrow MN\) là đường tuyeesp tuyến (O) tiếp điểm tại I
c/ Ta có \(\hept{\begin{cases}MI=AM\\NI=BN\end{cases}\left(1\right)}\)
Xét \(\Delta OIM\)và \(\Delta NIO\)có
\(\hept{\begin{cases}\widehat{OIM}=\widehat{NIO}=90\\\widehat{IMO}=\widehat{ION}\left(+\widehat{IOM}=90\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta OIM\approx\Delta NIO\)
\(\Rightarrow\frac{OI}{NI}=\frac{MI}{OI}\Rightarrow MI.NI=OI^2=R^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM.BN=R^2\)
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>ΔACD vuông tại C
mà CM là đường trung tuyến
nên CM=AD/2=AM=DM
Xét ΔMAO và ΔMCO có
MA=MC
MO chung
AO=CO
DO đó: ΔMAO=ΔMCO
Suy ra: \(\widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90^0\)
hay MC là tiếp tuyến của (O)
b: Ta có: MC=MA
nên M nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: OC=OA
nên O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AC
hay OM vuông góc với AC tại trung điểm của AC
a) Do C thuộc nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay AC vuông góc MB.
Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC nên áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(BC.BM=AB^2=4R^2\)
b) Xét tam giác MAC vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IM = IC = IA
Vậy thì \(\Delta ICO=\Delta IAO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^o\)
Hay IC là tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn.
c) Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(MB.MC=MA^2=4IC^2\Rightarrow IC^2=\frac{1}{4}MB.MC\)
Xét tam giác AMB có I là trung điểm AM, O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình tam giác ABM.
Vậy thì \(MB=2OI\Rightarrow MB^2=4OI^2\) (1)
Xét tam giác vuông MAB, theo Pi-ta-go ta có:
\(MB^2=MA^2+AB^2=MA^2+4R^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(4OI^2=MA^2+4R^2.\)
d) Do IA, IC là các tiếp tuyến cắt nhau nên ta có ngay \(AC\perp IO\Rightarrow\widehat{CDO}=90^o\)
Tương tự \(\widehat{CEO}=90^o\)
Xét tứ giác CDOE có \(\widehat{CEO}=\widehat{CDO}=90^o\)mà đỉnh E và D đối nhau nên tứ giác CDOE nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Xét tứ giác CDHO có: \(\widehat{CHO}=\widehat{CDO}=90^o\) mà đỉnh H và D kề nhau nên CDHO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Vậy nên C, D, H , O, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO.
Nói cách khác, O luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE luôn đi qua điểm O cố định.
a) Do \(OA=OB\) (2 bán kính)
=> Tam giác OAB cân tại O
Mà OH là đường trung tuyến
=> OH cũng là đường cao ứng với AB
=> OH vuông góc AB.
(VẬY TA CÓ ĐPCM).
b) Có: góc CDA là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=> góc CDA = 90 độ
=> CD vuông góc AD
Xét tam giác CAK vuông tại A (gt) và AD vuông góc CK (CMT)
=> Áp dụng HTL thì: \(CD.CK=CA^2=2\left(OA\right)^2=4R^2\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
c) Có: \(sinC=\frac{AD}{AC};cosC=\frac{CD}{AC}\)
=> \(2R.sinC.cosC=2R.\left(\frac{AD.CD}{AC^2}\right)=2R.\left(\frac{AD.CD}{CD.CK}\right)=2R.\left(\frac{AD}{CK}\right)\) (HTL: \(AC^2=CD.CK\))
=> \(\frac{AD^2}{2R.sinC.cosC}=\frac{AD^2}{\frac{2R.AD}{CK}}=\frac{AD^2.CK}{2R.AD}=\frac{AD.CK}{2R}=\frac{AD.CK}{AC}\)
Áp dụng tiếp tục HTL ta được:
=> \(AD.CK=AC.AK\)
=> \(VP=\frac{AC.AK}{AC}=AK\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
Câu d nhaaaaaaaaa !!!!!
Có: OA; OB là 2 tiếp tuyến của O và cắt nhau tại K
=> Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta được:
=> OK vuông góc với AB.
Tương tự thì: OC và OD cũng là 2 tiếp tuyến của O và cắt nhau tại E
=> Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta được:
=> OE vuông góc với CD.
* Áp dụng HTL vào tam giác OAK vuông tại A có AH vuông góc với OK:
=> \(OH.OK=OA^2\)
* Áp dụng HTL vào tam giác OCE vuông tại C có CI vuông góc với OE:
=> \(OI.OE=OC^2\)
Mà: \(OA=OE\) {2 BÁN KÍNH CỦA (O)}
=> \(OH.OK=OI.OE\)
(VẬY TA CÓ ĐPCM).
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếpAB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
b: Ta có: ΔACD vuông tại C
mà CI là đường trung tuyến
nên CI=AI=DI
Xét ΔIAO và ΔICO có
IA=IC
AO=CO
IO chung
Do đó: ΔIAO=ΔICO
Suy ra: \(\widehat{IAO}=\widehat{ICO}=90^0\)
hay IC là tiếp tuyến của (O)