Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B O M N C P I K H
a) CM và CN là hai tiếp tuyến của (O) tại M và N
=> CM = CN và CO là p/g của góc MCN (tính chất tiếp tuyến)
Xét tam giác AMC và ANC có: CM = CN ; góc MCA = NCA (do CO là p/g của góc MCN); Cạnh chung CA
=> tam giác AMC = ANC (c - g- c)
=> AM = AN => tam giác AMN cân tại A
+) B là trung điểm của OC => OC = 2.OB = 2R
CM là tiếp tuyến của (O) tại M => CM vuông góc với OM
=> tam giác OMC vuông tại M
=> CM2 = CO2 - OM2 (Theo ĐL Pi ta go)
=> CM2 = (2R)2 - R2 = 3R2 => CM = R.\(\sqrt{3}\)
+) Nối M với B; MN cắt OC tại P
Ta có: OM = ON (= R) ; CM = CN => OC là trung trực của MN => MP vuông góc với OC
AD hệ thức lượng trong tam giác vuông OMC có: OM2 = OP. OC => OP = OM2 / OC = R2/ 2R = R/2
=> AP = AO + OP = R + R/2 = 3R/2
và MP . OC = OM . MC => MP = OM . MC : OC = R.(R. \(\sqrt{3}\)) : 2R = R\(\sqrt{3}\)/2
Trong tam giác vuông APM có: AM2 = AP2 + PM2 = (3R/2)2 + ( R\(\sqrt{3}\)/2)2 = 3R2
=> AM = R\(\sqrt{3}\)
b) Từ câu a) => AM = CM mà AM = AN; CM = CN => AM = AN = NC = CM
=> Từ giác AMCN là hình thoi
Vì OC là trung trực của mN => P là trung điểm của MN => MN = 2MP = R \(\sqrt{3}\); AC = AB + BC = 3R
SAMCN = AC . MN : 2 = 3R. R\(\sqrt{3}\) : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/2
c) Xét tam giác AMN có O thuộc trung tuyến AP và AO = 2/3AP
=> O là trọng tâm tam giác AMN => MO là đường trung tuyến
Kéo dài MO cắt AN tại H => H là trung điểm của AN => AH = AN/2
mà MI = MC/2 ; AN = CM => AH = MI ; AH //MI
=> AMIH là hình bình hành ; K là giao của hai đường chéo MH và AI => K là trung điểm của AI
d) SAMC = MP.AC : 2 = R\(\sqrt{3}\)/2. 3R : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/4
I là trung điểm của CM => SAIC = SAMC /2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/8
+) Xét tam giác OCM có: I; B là trung điểm của CM và OC => BI là đường trung bình
=> OM // BI; OM vuông góc với CM => BI vuông góc với CM
BI = OM/2 = R/2 ; CI = CM/2 = \(\sqrt{3}\)R/2
=> tam giác BIC vuông tại I => SBIC = BI. IC : 2 = \(\sqrt{3}\)R2/8
=> S(AIB) = S(AIC) - S(BIC) = 2\(\sqrt{3}\)R2/8
Mà K là trung điểm của AI => S(AKB) = S(AIB)/2 = \(\sqrt{3}\)R2/8
a) AM là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)\(\Rightarrow\widebat{BM}=\widebat{CM}\)
=> M là điểm chính giữa cung BC
=> OM _|_ BC (đpcm)
b) AN là phân giác \(\widehat{CAt}\)
=> \(\widehat{tAN}=\widehat{NAC}\)mà \(\widehat{tAN}=\widehat{NCB}\)(Tứ giác ANCB nội tiếp)
và \(\widehat{NAC}=\widehat{NMC}\)(tứ gics ANCB nội tiếp)
=> \(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\)
Xét tam giác NCD và tam giác NMC có:
\(\widehat{MNC}\)chung
\(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\left(cmt\right)\)
=> Tam giác NCD đồng dạng với tam giác NMC (g.g)
=> \(\widehat{NCM}=\widehat{NDC}\)mà \(\widehat{NDC}=90^o\)và \(\widehat{NCM}=90^o\)
=> NC _|_ CM
Xét tam giác NCM nội tiếp có NC _|_ CM
=> NM là đường kính
=> N,O,M thẳng hàng
c) Tam giác MAN nội tiếp đường kín MN
=> AM _|_ AN => Tam giác KAD vuông tại A
Xét tam giác KAD vuông tại A có AI là đường trung bình
=> AI=ID
=> Tam giác AID cân tại A
=> \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)(tính chất tam giác cân) hay \(\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{IDA}\)
Lại có \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\widehat{IDA}\)(tính chất góc ngoài)
\(\Rightarrow\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}\)
mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(AD là phân giác) => \(\widehat{IAB}=\widehat{DCA}\)
mà 2 góc này nằm ở vị trí góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
=> IA là tiếp tuyến của (O)
a) Do C thuộc nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay AC vuông góc MB.
Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC nên áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(BC.BM=AB^2=4R^2\)
b) Xét tam giác MAC vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IM = IC = IA
Vậy thì \(\Delta ICO=\Delta IAO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^o\)
Hay IC là tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn.
c) Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(MB.MC=MA^2=4IC^2\Rightarrow IC^2=\frac{1}{4}MB.MC\)
Xét tam giác AMB có I là trung điểm AM, O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình tam giác ABM.
Vậy thì \(MB=2OI\Rightarrow MB^2=4OI^2\) (1)
Xét tam giác vuông MAB, theo Pi-ta-go ta có:
\(MB^2=MA^2+AB^2=MA^2+4R^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(4OI^2=MA^2+4R^2.\)
d) Do IA, IC là các tiếp tuyến cắt nhau nên ta có ngay \(AC\perp IO\Rightarrow\widehat{CDO}=90^o\)
Tương tự \(\widehat{CEO}=90^o\)
Xét tứ giác CDOE có \(\widehat{CEO}=\widehat{CDO}=90^o\)mà đỉnh E và D đối nhau nên tứ giác CDOE nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Xét tứ giác CDHO có: \(\widehat{CHO}=\widehat{CDO}=90^o\) mà đỉnh H và D kề nhau nên CDHO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Vậy nên C, D, H , O, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO.
Nói cách khác, O luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE luôn đi qua điểm O cố định.
Ta có ; \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)
=> D là điểm chính giữa cung BC
=> DO vuông góc với BC tại trung điểm H của BC
lại có: \(\Delta BDM~\Delta BCF\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{DM}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{2BH}=\frac{\frac{1}{2}DA}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{DA}{CF}\)
Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{C_2}\)( bẹn chứng minh ở phần a nhé)
\(\Rightarrow\Delta BDA~\Delta HCF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{A_1}\)(2 góc tương ứng)
Mà A1=A2(gt) và A2=E1(cùng chắn 1 cung DC).
F1=E1=> tam giác EFHC nội tiếp
A B M C O O 1 2 O I E D N
a) Có ^AO1O2 = ^AO1M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O1) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO2O1 = ^ACB
Suy ra \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI
Khi đó \(\Delta\)AOO1 ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O1AB
=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO1B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO1B cân tại O1 nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).
c) Xét đường tròn (O1): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 900 => DM là đường kính của (O1)
=> ^DBM = 900 => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC
Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).