Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(x,y,z\in Q,x=\frac{a}{b},b>0,y=\frac{c}{d},d>0,z=\frac{h}{g},g>0.\)
a) Nếu \(x=y\), tức là \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), thì ta suy ra \(\frac{a.d.g}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}\left(1\right)\)
Xét \(x+z=\frac{a}{b}+\frac{h}{g}=\frac{a.d.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}\left(2\right)\)
Thay kết quả \(\left(1\right)\) vào vế phải của \(\left(2\right)\) ta được:
\(x+z=\frac{b.c.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}=\frac{c}{d}+\frac{h}{g}\Rightarrow x+z=y+z\)
b) Ngược lại, nếu \(x+z=y+z,\) tức là \(\frac{a}{b}+\frac{h}{g}=\frac{c}{d}+\frac{h}{g},\) thì ta suy ra
\(\frac{a.d.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}+\frac{b.d.h}{b.d.g}\)
\(\Rightarrow\frac{a.d.g+b.d.h}{b.d.g}=\frac{b.c.g+b.d.h}{b.d.g}\)
\(\Rightarrow a.d.g+b.d.h=b.c.g+b.d.h\left(3\right)\)
Theo luật đơn giản ước của phép cộng các số nguyên, từ đẳng thức \(\left(3\right)\) ta có: \(a.d.g=b.c.g\). Do đó:
\(\frac{a.d.g}{b.d.g}=\frac{b.c.g}{b.d.g}\)
Suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Ta có :
(+) \(x=y\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x+z=x+z\\y+z=x+z\end{cases}\)
=> x+z=y+z
(+) x+z=y+z
\(\Rightarrow x+z-z=y+z-z\)
=> x = y
Vì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) nên ad < bc (1)
Xét tích : a(b+d) = ab + ad (2)
b(a+c) = ba + bc (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra a(b+d) < b(a+c) do đó \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) (4)
Tương tự ta có : \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\) (5)
Kết hợp (4);(5) ta được \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\)
hay x < z < y
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Mạnh Khuất - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Vì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) nên ad < bc (1)
Xét tích
a(b+d) = ab + ad (2)
b(a+c) = ba + bc (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra
a(b+d) < b(a+c) do đó : \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) (4)
Tương tự ta có \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\) (5)
Từ (4),(5) ta được : \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+d}\) < \(\frac{c}{d}\)
Hay x < z < y
+)Vì x<y
Suy ra a/b<c/d
Suy ra a.b+a.d<b.c+b.a
Suy ra a.(b+d)<b.(c+a)
Suy ra a/b<c+a/b+d
Suy ra a/b<c+a/b+d<c/d
Suy ra x<z<y