Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có
\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)
cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
x + y + z = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)( x + y + z )3 = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)( x + y )3 + z3 + 3 ( x + y ) z ( x + y + z ) = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)x3 + y3 + z3 + 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) = 0
giả sử x + y = 0 \(\Rightarrow\)z = 1
Ta có : x2015 + y2015 + z2015 = ( x + y ) . A + z2015 = 1
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^3=1^3=1\)
Có : \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=1-1\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)-x\right]\left[\left(x+y+z\right)^2+x^2+x\left(x+y+z\right)\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz-y^2-z^2+yz\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[3x^2+3xy+3yz+3xz\right]=0\)
\(\Rightarrow3\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\)y+z=0 hoặc x+z=0 hoặc x+y=0
Có : \(A=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\)
\(=x^{2015}+\left(y+z\right)\left(y^{2014}-y^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=y^{2015}+\left(x+z\right)\left(x^{2014}-x^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=z^{2015}+\left(x+y\right)\left(x^{2014}-x^{2013}y+...+y^{2014}\right)\)
Với \(x+y=0\Rightarrow z=1\Rightarrow A=1+0=1\)
Tương tự với \(y+z=0;z+x=0\)đều có A=1
Vậy ...
Ta có : \(x^2+2y+1=0;y^2+2z+1=0;z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1=y^2+2z+1=z^2+2x+1\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1-y^2-2z-1-z^2-2x-1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2-2y+1\right)-\left(z^2+2z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-\left(z+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z+1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-1=0\\z+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)
Thay \(x=1;y=1;z=-1\)vào A ta có :
\(A=1^{2015}+1^{2016}+\left(-1\right)^{2017}=1+1-1=1\)
Vậy A = 1
Từ \(\hept{\begin{cases}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\\\left(z+1\right)^2\ge0\forall z\end{cases}\left(2\right)}\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\):
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=0\\\left(z+1\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y+1=0\\z+1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=y=z=-1\)
\(\Rightarrow A=\left(-1\right)^{2015}+\left(-1\right)^{2016}+\left(-1\right)^{2017}=-1+1-1=-1\)
Vậy \(A=-1\)
Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)
Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.
Mình nêu hướng làm thôi!
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x
Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:
\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz\)
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì mũ chẵn luôn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Rightarrow}}x=y=z\)
\(\Rightarrow x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=x^{2015}+x^{2015}+x^{2015}=3x^{2015}\)
\(\Rightarrow3x^{2015}=3^{2016}\)
\(\Rightarrow x^{2015}=3^{2015}\)
\(\Rightarrow x=3\)
Vậy \(x=y=z=3\)
Lời giải:
Ta có:
\(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2-2y+1)+(z^2-4z+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=0\)
Ta thấy:
\(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2\geq 0\\ (y-1)^2\geq 0\\ (z-2)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-1)^2+(z-2)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y-1=0\\ z-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1\\ z=2\end{matrix}\right.\)
Do đó:
\(A=(x-1)^{2015}+(y-1)^{2015}+(z-1)^{2015}=1\)
x + y + z = 1
=> x + y + (z - 1) = 0
=> (x + y) = 1 - z
=> (x + y)3 = (1 - z)3
=> x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1 - 3z + 3z2 - z3
=> x3 + y3 + z3 = 3z2 - 3z + 1 - 3xy(1 - z)
=> 1 = 3z(z - 1) - 3xy(1 - z) + 1
=> 3z(z - 1) + 3xy(z - 1) = 0
=> (3z + 3xy)(z - 1) = 0
=> 3(z + xy)(z - 1) = 0
=> (z + xy)(z - 1) = 0
=> \(\orbr{\begin{cases}z=-xy\\z=1\end{cases}}\)
Khi z = 1 => x + y = 0 => x = -y
Khi đó P = x2015 + y2015 + z2015 = x2015 - x2015 + 12015 = 1
Khi z = -xy => x + y - xy = 1 => x + y - xy - 1 = 0 => (x - 1)(y - 1) = 0 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Khi x = 1 => y + z = 0 => y = -z
Khi đó P = 12015 + y2015 - y2015 = 1 (vì x = -z)
Khi y = 1 => x + z = 0 => x = -z
Khi đó P = x2015 + 12015 - x2015 = 1 (Vì x = -z)
Vậy P = 1
Ta có: \(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(zx+yz+z^2+xy\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> Hoặc x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
=> Hoặc x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Vì vai trò x,y,z như nhau nên giả sử x=-y khi đó thay vào:
\(x+y+z=1\Rightarrow z=1\)
Khi đó \(P=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=-y^{2015}+y^{2015}+1=1\)