Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=p\\\sqrt{y}=q\\\sqrt{z}=r\end{cases}}\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}p+q+r=1\\p,q,r>0\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}+\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}+\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}=\frac{2pq}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(p^2+q^2+2r^2\right)}}\)
\(\le\frac{2pq}{p+q+2r}\le\frac{1}{2}\left(\frac{pq}{p+r}+\frac{pq}{q+r}\right)\)(Theo BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\ge\frac{4}{u+v}\)) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{qr}{q+p}+\frac{qr}{r+p}\right)\)(2); \(\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{rp}{r+q}+\frac{rp}{p+q}\right)\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}+\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}+\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{r\left(p+q\right)}{p+q}+\frac{p\left(q+r\right)}{q+r}+\frac{q\left(r+p\right)}{r+p}\right)=\frac{1}{2}\left(p+q+r\right)=\frac{1}{2}\)(Do p + q + r = 1)
Đẳng thức xảy ra khi \(p=q=r=\frac{1}{3}\)hay \(x=y=z=\frac{1}{9}\)
1.
Xét riêng 2 căn lớn đầu tiên
Bình phương, thu gọn được căn(12-8 căn 2)
Giờ kết hợp kết quả này với căn lớn còn lại
Tiếp tục bình phương, thu gọn là xong
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{xy}{\sqrt{z+xy}}=\frac{xy}{\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}}=\frac{xy}{\sqrt{xz+yz+z^2+xy}}\)
\(=\frac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}\right);\frac{xz}{\sqrt{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{xz}{y+z}+\frac{xz}{x+y}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy+yz}{x+z}+\frac{yz+xz}{x+y}+\frac{xy+xz}{y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có
\(\sqrt{\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\right)\left(1+2\right)}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\right)^2}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\)
=> \(\sqrt{3}A\ge3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3\)
=> \(A\ge\sqrt{3}\)
\(MinA=\sqrt{3}\)khi x=y=z=3
gọi P là cái 1/x+1/y+1/z nha
1) (1/x+1/y+1/z)^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2/(xy) + 2/(yz) + 2/(zx)
---> 3 = P + 2(x+y+z)/(xyz) = P + 2 ---> P = 1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2x^2+y^2\ge2\sqrt{2x^2.y^2}=2\sqrt{2}xy\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+y^2}\ge\sqrt{2\sqrt{2}xy}=\sqrt{2\sqrt{2}}\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{\sqrt{2\sqrt{2}}.\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\sqrt{2\sqrt{2}}=\)
Vậy minP=\(\sqrt{2\sqrt{2}}\) đạt được khi \(\sqrt{2}x=y\)