Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(x+y+z+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{4z}}+\frac{3}{4}\left(\frac{9}{x+y+z}\right)\)
\(\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
Vậy min A = 15/2 tại x = y = z = 1/2
Lời giải của em ạ :D
\(A=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(t=x+y+z\le\frac{3}{2}\)
Khi đó \(A=t+\frac{9}{t}=\left(t+\frac{9}{4t}\right)+\frac{27}{4t}\ge3+\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/2
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
a, x^3-y^2-y=1/3
=> x^3 = y^2+y+1/3 = (y^2+y+1/4)+1/12 = (y+1/2)^2+1/12 > 0
=> x > 0
Tương tự : y,z đều > 0
Tk mk nha
ta có hpt
<=>\(\hept{\begin{cases}x^3=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\y^3=\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\z^3=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\end{cases}}\)
Vì vai trò x,y,z như nhau và x,y,z đều >0 ( câu a)
Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(z+\frac{1}{2}\right)^2\) (1)
=>\(y+\frac{1}{2}\ge z+\frac{1}{3}\)
=>\(y\ge z\) (2)
với y>= z, từ pt(2) =>z>=x (3)
Từ 91),(2),(3)
=> x=y=z>0 (ĐPCM)
Với x=y=z>0, thay vào pt(1), Ta có
\(x^3-x^2-x-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x-1=0\)
<=>\(4x^3=x^3+3x^2+3x+1\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)
<=>\(\sqrt[3]{4}x=x+1\Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\)
Vãi cả lớp 8 học hệ pt , lạy mấy e rồi đó, :V
^_^
Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :
Để P nhỏ nhất thì
\(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)
\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)
\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)
\(\Rightarrow2P\ge4038\)
\(\Rightarrow P\ge2019\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
ta có \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}=6\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow6\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)
MÀ \(y^2+1\ge2y;z^3+1+1\ge3z\)
=> A+3\(\ge\left(x+2y+3z\right)=6\) => A>=3
dấu = xảy ra <=> x=y=z