Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)( 1 )
Nhận xét : \(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3x^2-3xy^2\)
Thay vào ( 1 ) ta có :
\(\left(x+y\right)^3+c^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)
\(=\left(z+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(z+y+z\right)\left(z^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xyz\left(z+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(z^2+x^2+y^2-xy-yz-xz\right)\)
Vì theo đầu bài ta có: \(x+y+z=0\)nên ta có ( DPCM ) ..... học cho tốt nhé!
\(a)x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz=0\)
\(\) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\right.\) \(\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2-3xy)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\right.\) \(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy)=0\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow0=0\left(đpcm)\right.\)
\(b)\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2\left.x^2yz+2xy^2z+2xyz^2\right)\right.=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\right.\) \(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\left(xyz\right)=0\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow0=0\left(đpcm\right)\)
\(c)\) Ta có:\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(\right.\) \(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=0\)
\(\Rightarrow2\left(\right.\) \(xy+yz+xz^{})=-\left(\right.\) \(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Rightarrow4\left(\right.\) \(xy+yz+xz)^2=\) \(x^4+y^4+z^4+2\left(\right.\) \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)\left(1\right)\)
Mà ta có: \(\left(xy+yz+xz\right)^2=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\) (theo câu b)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)^2=2\left(\right.\) \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)^2=x^4+y^4+z^4\left(đpcm\right)\)
1) Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}\Leftrightarrow}2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
2) Áp dụng từ câu 1) ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy^2z+yz^2x+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)\)
3) Bạn cần sửa lại một chút thành \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\)
Ta có : \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1=\left(x^4-2x^3+x^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)=x^2\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3)^2\)
\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3).\frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{(x^3+y^3)(x^2+y^2)}{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x^2+y^2}{x+y}\).
Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x+y}{2}\)
Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\ge \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2013\)
Vậy $P_{\min}=2013$ khi $x=y=z=671$