NN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HM
1
31 tháng 3 2015
1) \(VT=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{z}\)
\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Với 2 số a; b dương dễ dàng chứng minh đc: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (có thể chứng minh tương đương)
=> VT \(\ge3+2+2+2=9=VP\)=> ĐPCM
dâu = xảy ra khi x = y = z
2) Xét \(M+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(M+3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)(Áp dụng câu 1)
=> M \(\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
min M = 3/2 khi a= b = c
CC
19 tháng 5 2017
Câu a.
Ta luôn có
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a+b < a+b+c)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng theo từng vế rồi rút gọn ta đươc đpcm
19 tháng 5 2017
Cảm ơn b nhé. B biết làm.câu b c d không giúp m với
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
VS
1
KK
20 tháng 1 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
Áp dụng BĐT Cô - si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy.\frac{1}{xy}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) ( đpcm )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô - si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+y+z\ge3\sqrt{xyz}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt{\frac{1}{xyz}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\sqrt{xyz.\frac{1}{xyz}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) ( đpcm )
NH
1
8 tháng 6 2020
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{4}{x+1}+\frac{9}{y+2}+\frac{25}{z+3}\ge\frac{\left(2+3+5\right)^2}{x+1+y+2+z+3}=\frac{10^2}{4+6}=10\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{2}{x+1}=\frac{3}{y+2}=\frac{5}{z+3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)
PB
0
UK
13 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\ge9\)
CM BĐT phụ: \(a+\frac{1}{a}\ge2\) (a>0) (*)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+1-2a\ge0\) \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=1\)
Áp dụng BĐT (*) ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2;\) \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\) \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
suy ra: \(3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
p/s: dạng BĐT về trình bày mk kém mong các you sửa sai cho