Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta có:
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Do đó \(\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐ Svac-xơ, ta có
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Ta có \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Lại có \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) (1)
Tương tự cho \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) (2) và \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\) (3)
Cộng vế theo vế ta được \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Bạn CM x=y=z=1
Sau đó bạn thế số vào và bạn sẽ tính đc phân số là 3/6 rút gọn là 1/2
Cuối cùng bạn sẽ kết luận:
Vì 1/2 ≤ 1/2
Nên ...(biểu thức)...≤1/2
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có đánh giá quen thuộc: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Đặt \(t=\frac{1}{xy+yz+zx}\)thì bất đẳng thức trở thành \(3t^2+\frac{1}{3}\ge2t\Leftrightarrow9t^2+1\ge6t\Leftrightarrow\left(3t-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\\x=y=z>0,xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
nhầm mk giải lại
vì x;y;z là 3 số dương \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{9}{x+y+z}\)(bđt cauchy schwarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi x=y=z=2
mà x+y+z<=6\(\Rightarrow\frac{9}{x+y+z}>=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.=\frac{3}{2}\)
vì x;y;z là 3 số dương \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(bđt caucht schwarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)
vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{3}{2}\)