Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)(BĐT buniacoxki)
=>\(VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yx}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}}\)
=> \(VT\le\frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
với \(x+y+z=3\Rightarrow3x=x\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz\Rightarrow3x+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
tương tự mấy cái kia nhé
Áp dụng bđt bu nhi a ta có \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
=> \(x+\sqrt{3x+yz}\ge x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
tương tự mấy cái kia rồi cộng vào ta có
\(A\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (ĐPCM)
\(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(xy+xz+yz\right)x+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)\left(\sqrt{z}^2+\sqrt{x}^2\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\right)^2}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{cases}}\)
Và \(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\frac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có :
\(\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại roouf cộng theo vế :
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{9}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)^2}}=\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự với 2 BĐT trên ta có:
\(\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
ta có \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{x^2+xy+xz+yz}}=\)\(\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
theo BĐT bunhicopski ta có (x+y)(x+z)=(x+y)(z+x) >= (\(\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\right)^2\)
==> \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}>=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
==> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=< \frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
mấy cái khác tương tự. Bạn cộng lại ==> VT=<1 (đpcm)