Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
voi x,y,z>0 ta co
ap dung bdt co si ta co
\(T>=3\sqrt[3]{\sqrt{\left(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\left(\frac{z^2+1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}}\)
=\(3\sqrt[3]{\sqrt{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\left(1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\left(1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}}\)
>=\(3\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2y^2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{y^2z^2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2z^2}}}}=3\sqrt[3]{\sqrt{27\sqrt[3]{\frac{1}{\left(xyz\right)^4}}}}\)
=\(3\sqrt[3]{\sqrt{27.\frac{1}{xyz}.\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}}}=3\sqrt{3}.\sqrt[9]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}}\)
ap dung bdt co si ta co
\(x+y+z>=3\sqrt[3]{xyz}\)
<=>3>=\(3\sqrt[3]{xyz}\left(dox+y+z=3\right)\)
<=>xyz<=1
<=>1/xyz>=1
<=>\(\sqrt[9]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}}>=1\)
do do T>=\(3\sqrt{3}\)
dau = xay ra <=>x=y=z=1
\(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x+y+z}}\)
Vì x^2+y^2+z^2=1 nên 0 <= x^2<=1, 0<=y^2<=1, 0<=z^2<=1 ( <= : nhỏ hơn hoặc bằng nha bn:))
suy ra -1<=x<=1: -1<=y<=1,-1<=z<=1 (*)
Xét x^2+y^2+z^2-(x^3+y^3+x^3)=1
x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z)=0 (**)
Có x^2 , y^2, z^2>=0 với mọi x,y,z
Lại có x<=1, y<=1, z<=1 nên 1-x>=0, 1-y>=0, 1-z>0 (***)
Từ (**) và (***) suy ra:
x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z)>=0 với mọi x, y, z
Nên từ (*) suy ra: x^2(1-x)=0
y^2(1-y)=0
z^2(1-z)=0
Suy ra có 3 trường hợp :x=0 hoặc x=1 ; y=0 hoặc y=1, z=0 hoặc z=1
Với x=1 suy ra y=z=0 nên P=0
Với y=1 suy ra x=z=0 nên P=0
Với z=1 suy ra y=x=0 nên P=0
Vậy trong mọi trường hợp P=0