Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\) (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng ta có
\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+2z+x}\ge\frac{4}{2\left(x+2y+z\right)}=\frac{2}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+2x+y}\ge\frac{2}{x+y+2z}\)
\(\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{x+2y+z}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)
Cộng các vế của các bđt trên
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
Bạn CM x=y=z=1
Sau đó bạn thế số vào và bạn sẽ tính đc phân số là 3/6 rút gọn là 1/2
Cuối cùng bạn sẽ kết luận:
Vì 1/2 ≤ 1/2
Nên ...(biểu thức)...≤1/2
a: x-y-z=0
=>x=y+z; y=x-z; z=x-y
\(K=\dfrac{x-z}{x}\cdot\dfrac{y-x}{y}\cdot\dfrac{z+y}{z}=\dfrac{y\cdot\left(-z\right)\cdot x}{xyz}=-1\)
b: Tham khảo:
Nếu\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
Thật vậy:\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\\ \Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Tương tự \(a=b=c\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3abc=3a^3\\a^3+b^3+c^3=3a^3\end{cases}\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc}\)
Áp dụng ta có:\(\orbr{\begin{cases}xy+yz+zx=0\\xy=yz=zx\Rightarrow x=y=z\end{cases}}\)
Khi x=y=z,ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8
Khi xy+yz+zx=0,ta có:\(xy+yz=-zx\)
Tương tự:\(yz+zx=-xy\)
\(xy+zx=-yz\)
Ta có \(P=2+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=2+\frac{xz+yz}{z^2}+\frac{xy+xz}{x^2}+\frac{zy+xy}{y^2}\)\(=2-\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\)\(=2-\frac{xy+yz+zx}{xyz}=2-\frac{0}{xyz}=2\)
Vậy P=8 khi x=y=z
P=2 khi xy+yz+zx=0
Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) (1)
Hiển nhiên suy ra được BĐT Am-Gm
Áp dụng (1) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z};\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{z+x}\)
Cộng các vế BĐT ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\) (2)
Tương tự như vậy ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\ge2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\) (3)
Áp dụng (2) và (3) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Vậy Max A = 1
\(\frac{1}{3x+2y+z}=\frac{1}{x+x+x+y+y+z}\le\frac{1}{6^2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự thì ta có:
\(\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{x+3y+2z}+\frac{1}{y+3z+2x}\)
\(\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{y}+\frac{2}{z}\right)+\frac{1}{36}\left(\frac{1}{y}+\frac{3}{z}+\frac{2}{x}\right)\)
\(=\frac{6}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 3/16