Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
Áp dụng BĐT Schwars và BĐT AM - GM:
\(\frac{x}{x^4+1+2xy}\le\frac{1}{4}x\left(\frac{1}{x^4+1}+\frac{1}{2xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x^4+1}+\frac{1}{2y}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{2x^2}+\frac{1}{2y}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)\).
Tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x}{x^4+1+2xy}+\frac{y}{y^4+1+2yz}+\frac{z}{z^4+1+2zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}\right)=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Đặt vế trái là P
\(P\le\frac{x}{2x^2+2xy}+\frac{y}{2y^2+2yz}+\frac{z}{2z^2+2zx}=\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{2\left(y+z\right)}+\frac{1}{2\left(z+x\right)}\)
\(P\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)