Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1)\) Ta có :
\(M=\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-2x+1}\)
\(M=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)
\(M=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\)
\(M=\left|x+1\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x+1+1-x\right|=\left|2\right|=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x+1\right)\left(1-x\right)\ge0\)
Trường hợp 1 :
\(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\1-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le1\end{cases}\Leftrightarrow}-1\le x\le1}\)
Trường hợp 2 :
\(\hept{\begin{cases}x+1\le0\\1-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-1\\x\ge1\end{cases}}}\) ( loại )
Vậy GTNN của \(M\) là \(2\) khi \(-1\le x\le1\)
Chúc bạn học tốt ~
b,ta co x^2+y^2=1
=>x^2=1-y^2
y^2=1-x^2
ta co
\(\sqrt{x^4+4\left(1-x^2\right)}\)+\(\sqrt{y^4+4\left(1-y^2\right)}\)
=\(\sqrt{\left(x^2-2\right)^2}\)+\(\sqrt{\left(y^2-2\right)^2}\)
còn lại bạn xét các trường hợp của x^2-2 và y^2-2 là ra
\(A=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+x^2+y^2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2-2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{3}{4}2xy-2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{3}{2}-2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
\(A\ge2\sqrt{\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}+\frac{3}{4}2\sqrt{x^2y^2}+\frac{3}{2}-2\)
\(A\ge2+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2\)
\(A\ge3\)
1)
Điều kiện: \(x\geq \frac{-1}{2}\)
Bình phương hai vế:
\(x^2+4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{13}}{3}\)
Do \(x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) là nghiệm duy nhất của pt.
2)
a) \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\) (ĐK: \(x\geq -1\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+x-12)+12(\sqrt{x+1}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+4)+\frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right]=0\)
Do \(x\geq -1\Rightarrow x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\geq 3+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>0\)
Do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm x=3
b) Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+7}=a\\ x+4=b\end{matrix}\right.\)
PT tương đương:
\(x^2+7+4(x+4)-16=(x+4)\sqrt{x^2+7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b-16=ab\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4)-b(a-4)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4-b)=0\)
+ Nếu \(a-4=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(a+4-b=0\Leftrightarrow a=b-4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=x\)
\(\Rightarrow x\geq 0\). Bình phương hai vế thu được: \(x^2+7=x^2\Leftrightarrow 7=0\) (vô lý)
Vậy pt có nghiệm \(x=\pm 3\)
Câu 3:
Ta có \(M=\frac{x^2+2000x+196}{x}\)
\(\Leftrightarrow M=x+2000+\frac{196}{x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+\frac{196}{x}\geq 2\sqrt{196}=28\)
\(\Rightarrow M=x+\frac{196}{x}+2000\geq 28+2000=2028\)
Vậy M (min) =2028. Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{196}{x}\\ x>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=14\)
Cho x,y,z >0.Tìm GTNN của M=\(\frac{1}{6x}+\frac{2}{3y}+\frac{3}{2x}\)
Mình đang cần gấp giúp với!!!!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)
=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)
dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)