BN
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 1 2019
a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)
Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)
Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
NT
2
26 tháng 8 2017
Ta có : \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Vì \(x>y\) nên \(\hept{\begin{cases}x-y>0\\\frac{2}{x-y}>0\end{cases}}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
26 tháng 8 2017
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}\)
Vì theo giả thiết, \(xy=1\)nên \(2xy=2\), em dùng phương pháp Thêm Bớt
\(\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}=\frac{x-y^2+2}{x-y}\)
\(=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương là : \(x-y\)và \(\frac{2}{x-y}\) nên ta có:
\(x-y+\frac{2}{x-y}=2\sqrt{2}\)
Vậy: \(GTNN=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x-y=\frac{2}{x-y}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2019
\(A=\frac{3x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\ge\frac{3x}{4}+2\sqrt{\frac{x}{4x}}\ge\frac{3.2}{4}+1=\frac{5}{2}\)
\(A_{min}=\frac{5}{2}\) khi \(x=2\)
\(B=\frac{24x}{25}+\frac{x}{25}+\frac{1}{x}\ge\frac{24x}{25}+2\sqrt{\frac{x}{25x}}\ge\frac{24.5}{25}+\frac{2}{5}=\frac{26}{5}\)
\(B_{min}=\frac{26}{5}\) khi \(x=5\)
Câu C bạn coi lại đề, nếu đúng thế này thì ko tồn tại min
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
PH
1
C
2 tháng 12 2019
Có BĐT sau:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true!\right)\)
Ta có:
\(x^8+y^8\ge\frac{\left(x^4+y^4\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1
đặt \(y-2=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Rightarrow x=1-a\)
Khi đó : \(x^2+y^2=\left(1-a\right)^2+\left(a+2\right)^2=2a^2+2a+5\ge5\)
+)Theo bài ta có:x+y=3 với y\(\ge\)2
=>x\(\le\)1
=>y2\(\ge\)4
=>x2\(\ge\)1
=>x2+y2\(\ge\)4+1=5
Vậy x2+y2\(\ge\)5(ĐPCM)
Chúc bn học tốt