Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình nghĩ đề đúng phải là:
Cho \(a=x+\frac{1}{x},\)\(b=y+\frac{1}{y},\)\(c=xy+\frac{1}{xy}.\)
Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2-abc=4\)
- Ta có: \(A.B=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)=xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=C+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow\)\(A.B-C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)\(\Rightarrow\)\(\left(A.B-C\right)^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\) \(\left(1\right)\)
- Ta lại có: \(A^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\) \(\Rightarrow\) \(A^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}\)
\(B^2=\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=y^2+\frac{1}{y^2}+2\)\(\Rightarrow\)\(B^2-2=y^2+\frac{1}{y^2}\)
\(C^2=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)\(\Rightarrow\)\(C^2-2=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(A^2-2\right)\left(B^2-2\right)=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\)
\(=C^2-2+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)=\left(C^2-4\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\right)=\left(C^2-4\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(\left(A^2-2\right)\left(B^2-2\right)-\left(C^2-4\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(\left(A.B-C\right)^2=\left(A^2-2\right)\left(B^2-2\right)-\left(C^2+4\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\left(A.B-C\right)^2=\left(A^2-2\right)\left(B^2-2\right)-C^2-4\)
Triển khai rút gọn, ta được : \(A^2+B^2+C^2-A.B.C=4\)
\(\frac{2+xy}{2-xy}\le3\Rightarrow2+xy\le6-3xy\)
\(\Rightarrow4xy\le4\)\(\Rightarrow4\left(xy-1\right)\le0\)(1)
Ta lại có x+y=2=>x=2-y=>xy=(2-y)y=> xy-1=-(y-1)2\(\le\)0
=> (1) đúng
=> đpcm
áp dụng hệ quả bđt côsi xy≤ \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) =\(\left(\frac{2}{2}\right)^2\)=1
⇒\(\frac{2+xy}{2-xy}\) ≤\(\frac{2+1}{2-1}\) = 3
dấu =xảy ra khi x=y=1
Đặt: \(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k\)
ta có :\(x=3k;y=2k\)
Ta lại có : \(xy^2=96\)\(\Rightarrow3k.\left(2k\right)^2=96\Rightarrow3k.4k^2=96\Rightarrow12k^3=96\)
\(\Rightarrow k^3=\frac{96}{12}=8\)\(\Rightarrow k=2\)
\(\Rightarrow x=2.3=6;y=2.2=4\)