TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 8 2020
Sửa: \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4\); x+y=1
Ta có \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4=2x^4+2x^3y-x^3+2xy^3-y^3+2y^4\)
\(=x^3\left(2x+2y\right)+y^3\left(2x+2y\right)-\left(x^3+y^3\right)=\left(2x+2y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3+y^3\right)\)
\(=\left(2x+2y-1\right)\left(x^3+y^3\right)=x^3+y^3\)
Do \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)
Mà \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1 tháng 8 2016
áp dụng tính chất |A|+|B|>+|A+B|
y=|x-2|+|1-x|\(\ge\)|x-2+1-x|=|-1|=1
vậy gtri nhỏ nhất y=1 khi (x-2)(1-x)\(\ge0\)
<=> \(-1\le2\)
các câu sau tương tự nha
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 3 2019
Lời giải:
1)
PT hoành độ giao điểm:
\(x^2-3x+5-(x+b)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+(5-b)=0\)
Để 2 ĐTHS có một điểm chung thì pt hoành độ giao điểm có một nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow \Delta'=2^2-(5-b)=0\)
\(\Leftrightarrow b=1\)
2)
\(M=|2x+3|+|x-1|\)
\(2M=2|2x+3|+|2x-2|=(|2x+3|+|2x-2|)+|2x+3|\)
\(=(|2x+3|+|2-2x|)+|2x+3|\)
\(\geq |2x+3+2-2x|+|2x+3|\)
\(\geq |3+2|+0=5\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{5}{2}\). Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (2x+3)(2-2x)\geq 0\\ 2x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)
1 tháng 4 2022
\(x+2y=6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{2}=\dfrac{x}{2}+y\)
\(P+\dfrac{6}{2}=\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{2}+y\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{2}=\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)\)
vì x;y là số thực dương ,áp dụng BĐT Côsi ta có :
\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}=2\sqrt{\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}}=2\sqrt{4}=2.2=4\)
\(\dfrac{1}{y}+y=2\sqrt{\dfrac{1}{y}+y}=2\sqrt{1}=2.1=2\)
nên \(P+\dfrac{6}{2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow P\ge6-\dfrac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\)
vậy \(P_{min}=3\)
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
13 tháng 4 2022
We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)
\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)
x + y \(\ge3\) \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)
PT
6
N
18 tháng 1 2020
\(y=\left(2x^2+\frac{16}{x}+\frac{16}{x}\right)-\frac{27}{x}+1\ge24-\frac{27}{2}+1=\frac{23}{2}\)
Equelity iff \(x=2\)
P=\(\left\{\frac{2x+1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{\frac{2y+1}{y}\right\}^2\)=\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^2\) >= 2.\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^{ }\)\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^{ }\)
P>= 2.\(\left\{4+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{xy}\right\}^{ }\)
P>=8 + 4\(\left\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right\}^{ }\) + \(\frac{2}{xy}\)
P>= 8 + 4.\(\left\{\frac{x+y}{xy}\right\}^{ }\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{4}{xy}\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{6}{xy}\)>= 8+ 6.\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)>= 8 + 6.4= 32
dấu = xảy ra khi x=y =\(\frac{1}{2}\)