Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đơn giản biểu thức ta được:
\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(-x\right).\left(-y\right)}{xy}=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)
\(=1+\frac{1}{xy}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{1}{xy}+\frac{x+y}{xy}\)
\(=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\)
Ta bắt đầu tìm \(MIN:\)
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge1+2\div\frac{1}{4}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MIN_B=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Tìm \(MAX\) cho bạn luôn:
Ta đặt: \(x=\sin^2\alpha;y=\cos^2\alpha\left(ĐK:a\ne\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\)
Ta có: \(B=\left(1-\frac{1}{\sin^4\alpha}\right)\left(1-\frac{1}{\cos^4\alpha}\right)\)
\(=\frac{\left(\sin^2\alpha-1\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha-1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4\alpha}\)
\(=\frac{\left(\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4a}\)
\(=\frac{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha+2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{8}{\sin^22\alpha}\)
Để \(B_{max}\Leftrightarrow\sin^22a\) nhỏ nhất \(\Rightarrow\cos^22\alpha\) tiến lên 1
\(\Rightarrow\alpha\) tiến đến 0 hoặc \(\pi\Rightarrow x\) hoặc \(y\) tiến đến 0
Vậy không tìm được \(B_{max}\)
Cho \(x>0,y>0\)thỏa mãn\(x+y\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{4.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=4+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = \(\frac{1}{2}\)
1/y thành 1/x nhé
H = x2 + 2y2 + 1/x + 24/y
H = ( x2 + 1 ) + 2 ( y2 + 4 ) + 1/x + 24/y
H \(\ge\)2x + 8y + 1/x + 24/y = ( x + 1/x ) + ( 6y + 24y ) x + 2y - 9
\(\ge\)2 + 24 + 5 - 9 = 22
Dấu " = " xảy ra khi x = 1 ; y = 2
C1
Dễ có
\(\frac{x^2}{x-1}\ge4\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\ge0\) ( đúng )
\(P\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\cdot\frac{y^2}{x-1}}=2\sqrt{\frac{x^2}{x-1}\cdot\frac{y^2}{y-1}}\ge8\)
C2:
Sử dụng Cauchy Schwarz :
\(P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Ta đi chứng minh \(P\ge8\) thật vậy
\(BĐT\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge8\left(x+y\right)-16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2\ge0\) ( đúng )
Vậy có đpcm
Azzz thì ra bài này đến từ Russian Mathemathic Olympipad 1992 :))) Bạn vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh nha !
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm
Em có cách này nhưng không chắc
Ta sẽ c/m BĐT phụ sau:\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\le0\) (đúng) (ta chuyển hết VT sang vế phải rồi qui đồng lên)
Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng theo vế ta tìm được Min
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge4\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)(1)
Tương tự t có: \(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)(2)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(3)
Từ (1); (2); (3) t có:
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+\frac{x+z}{4}\right)+\left(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\right)\ge x+y+z\)
Từ x + y + z \(\ge\) 4, t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có: P >=(x+y+z)^2/(x+y+z)=(x+y+z)/2=2
đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=4/3
Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
có x2/(y-1)+4(y-1) >/ 2.2x=4x (AM-GM)
y2/(x-1)+4(x-1) >/ 2.2y=4y
=>P+4(y-1)+4(x-1) >/ 4x+4y
=>P >/ 4x+4y-4(y-1)-4(x-1)=4x+4y-4y+4-4x+4 = 8
minP=8