Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có bất đẳng thức phụ: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+xz}+\dfrac{1}{1+yz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+xy+1+xz+1+yz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+1+1+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\)
\(M=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{xy} \\=(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy})+\dfrac{1}{2xy}\\ \)
\(\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{4}{1^2}+\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra<=>x=y=0,5.
\(M=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=6\)
\(\Rightarrow M_{min}=6\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Xét \(B=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\), ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{4}{1^2}=4\)
\(\Rightarrow B\ge4\)
Ta có:
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4xy}{2xy}=2\) (x,y>0)
Khi đó:
\(A=B+\dfrac{1}{2xy}\ge4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}\\ =\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{2}{4xy}\\ \overset{AM-GM}{\ge}\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}\\ =\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(:\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2xy\\x=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y\)
Vậy \(A_{Min}=6\) khi \(x=y\)
bình phương cả 2 vế ta được
\(A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2x^2+2y^2+2z^2\)
\(A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\) (vì x^2 +y^2 +z^2 =1)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số
\(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}\ge2y^2\left(1\right)\)
\(\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2z^2\left(2\right)\)
\(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2x^2\left(3\right)\)
(1)+(2)+(3)
=> \(2\left(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\right)\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
<=> \(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge1\)
Cộng 2 vào cả 2 vế ta đc
\(A^2\ge3\)
<=> \(\ge\sqrt{3}\)
Vậy Min A= \(\sqrt{3}\) khi x=y=z =\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải khác:
Đặt \((\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y})\mapsto (a,b,c)\)
\(\Rightarrow (x^2,y^2,z^2)=(ac,ab,bc)\)
Bài toán trở thành tìm min của $A=a+b+c$ biết $ab+bc+ac=1$ và $a,b,c>0$
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(A^2=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=3\)
\(\Rightarrow A\geq \sqrt{3}\)
Vậy \(A_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Điều đầu tiên ta cần chứng minh được BĐT :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\) ( Đúng )
\(\Rightarrow x+y+z\ge1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - schwarz dưới dạng en-gel ta có :
\(A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(Min_A=\dfrac{1}{2}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Ta có : \(P=\dfrac{20}{x^2+y^2}+\dfrac{20}{2xy}+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT C.B.S
\(\Rightarrow20\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge20.\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge20\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge1\)
Cộng hai BĐT trên lại \(\Rightarrow P\ge21\) => MinP=21 khi x=y=1