Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
Đk: 0 < x;y;z < = 1
Ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}\)
<=> \(2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-z^2}+2z\sqrt{1-x^2}=3\)
<=> \(3-2x\sqrt{1-y^2}-2y\sqrt{1-z^2}-2z\sqrt{1-x^2}=0\)
<=> \(1-y^2-2x\sqrt{1-y^2}+x^2+1-z^2-2y\sqrt{1-z^2}+y^2+1-x^2-2z\sqrt{1-x^2}+z^2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{1-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{1-z^2}-y\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}-z\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-y^2}-x=0\\\sqrt{1-z^2}-y=0\\\sqrt{1-x^2}-z=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-y^2}=x\\\sqrt{1-z^2}=y\\\sqrt{1-x^2}=z\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}1-y^2=x^2\left(1\right)\\1-z^2=y^2\left(2\right)\\1-x^2=z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế:
\(3-\left(x^2+y^2+z^2\right)=x^2+y^2+z^2\) <=> \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\) <=> \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)
bài 1 ta có
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\) ( BDT Bunhia )
do đó
\(a+b=ab.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)
vậy ta có đpcm.
bài 2.
ta có \(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le2\)( BDT Bunhia )
\(VP=y^2+2.\sqrt{2019}y+2021=\left(y+\sqrt{2019}\right)^2+2\ge2\)
suy ra PT có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x-3=5-x\\y+\sqrt{2019}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\sqrt{2019}\end{cases}}}\)
- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le(x.21+x.21+y.21+y.21+x.1−x2+y.1−x2)2≤
\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)(x2+x2+y2+y2+x2+y2)(41+41+41+41+1−x2+1−y2)
tức là \left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)(x+y+x1−y2+y1−x2)2≤(3x2+3y2)(3−x2−y2)
Suy ra x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}x+y+x1−y2+y1−x2≤3.(x2+y2)(3−x2−y2)
\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}≤3.2(x2+y2)+(3−x2−y2)
hay x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}x+y+x1−y2+y1−x2≤233 (đpcm)
Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1+bc1+ca1+a1+b1+c1=6
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2 ta có
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1+bc1+ca1≤a21+b21+c21 (1)
Lại áp dụng x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1, ta có \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1≤21(1+a21), do đó
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1+b1+c1≤21(a21+b21+c21)+23 (2)
Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được
6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23(a21+b21+c21)+23
Suy ra 3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21+b21+c21 (đpcm)
KHÓ QUÁ KHÔNG AI GIẢI ĐƯỢC HỎI NGƯỜI LỚN KHÔNG TRẢ LỜI DƯỢC THÌ LÊN ĐỒN CÔNG AN MÀ HỎI
toán lớp 9 mà
lớp 4 giải kiểu gì hả