Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
(Cứ thấy sao sao?x + y = 1 = > x = y = 1/2)
Với ĐK : x + y = 1 ... , chỉ có x = y = 1/2 (cái nài là STP mà có phải SD đâu??)
Chia làm 2TH
\(N>\frac{25}{2}\); TH2 : \(N=\frac{25}{2}\)
\(N=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(1\right)^2+\left(1\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=2\ge\frac{25}{2}\)
----------------------------
\(N=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Tương tự như trên :\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\ge\frac{25}{2}\)
Chẳng khác gì phía trên,mà 25 / 2 = 25 : 2 = 12 , 5 . Lại còn x , y là số dương .
[Trình mình thì chẳng CM được cái này(vì không CM được)]
Đag lm nhà bj mất điện, đến h đc 2 tiếng r mà ch godd nào đụng à?!
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le\left(x^3+y^3\right)\sqrt{2}\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác ta lại có: \(\left(x,y\right)\in\left[0,1\right]\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x^3\\y^2\ge y^3\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
P/s: \(x^3+y^3\le1\) có thể xảy ra dấu "="
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{2}{y}}+\frac{3}{2}=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2x}\Leftrightarrow2x^2=2\Rightarrow x=1\)(vì x>0)
\(\frac{y}{2}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow y^2=4\Rightarrow y=2\)(vì y>0)
\(x+y=3\)
\(\Rightarrow x=1;y=2\)
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
\(\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
3 + (x²/y² + y²/x²) + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
x²/y² + y²/x² ≥ 2 (Theo AM - GM)
Nên A ≥ 5 + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:
a² + b² ≥ (1/2)*(a + b)²
1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2014
https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-nghe-an-nam-2014-c29a17566.html
Vào đó xem cho nó full :)))
\(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{x}{3-\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{y}{3-\frac{z^2+x^2}{2}}+\frac{z}{3-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
\(=\frac{2x}{3+x^2}+\frac{2y}{3+y^2}+\frac{2z}{3+z^2}\le\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2}}+\frac{2y}{4\sqrt[4]{y^2}}+\frac{2z}{4\sqrt[4]{z^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}\le\frac{x^2+3}{8}+\frac{y^2+3}{8}+\frac{z^2+3}{8}\)
\(=\frac{3}{8}+\frac{9}{8}=\frac{3}{2}\)
cách khác: cũng đến chỗ <= sigma 2x/3+x^2
<= 2x/2(x+1) (do x^2+3=x^2+1+2>=2x+2) <= sigma x/x+1 = 3- sigma (1/x+1)
sigma 1/x+1 >= 9/x+y+z+3 dễ rồi
Ta có: \(40=5.8,\left(5,8\right)=1\)nên ta sẽ chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\)và \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Giả thiết tương đương với: \(3x^2-2y^2=1\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\).
Dễ thấy \(x\)lẻ nên \(x=2k+1\Rightarrow x^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\equiv1\left(mod8\right)\).
Do đó \(3x^2\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow2y^2+1\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow y^2\equiv1\left(mod8\right)\).
\(\Rightarrow x^2-y^2⋮8\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Số chính phương khi chia cho \(5\)dư \(0,1,4\)do đó: \(3x^2\equiv0,3,2\left(mod5\right)\), \(2y^2\equiv0,2,3\left(mod5\right)\).
Để \(3x^2-2y^2=1\equiv1\left(mod5\right)\)thì \(3x^2\equiv3\left(mod5\right),2y^2\equiv2\left(mod5\right)\)
khi đó \(x^2\equiv1\left(mod5\right),y^2\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow x^2-y^2⋮5\).
Từ đây ta có đpcm.
anh cho em kết bạn với anh để có thể hỏi cho dễ được không anh,trước giờ anh giúp em nhiều qúa mà em cũng không biết cảm ơn thế nào