Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)
Ta có :\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\)(Do \(xy=1\))
\(=x+y+\frac{2}{x+y}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
Đặt \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
Do x,y>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\)(1)
Ta có: \(x,y>0\Rightarrow x+y>0\)
Ta áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x+y và 2
\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\left(ĐPCM\right)\)
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{1-xy}\right):\left(\frac{x+y+2xy+1-xy}{1-xy}\right)\)
\(=\left(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(1-xy\right)}.\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5-2\sqrt{3}}=\frac{2+6\sqrt{3}}{13}\)
Ta có \(1-P=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}\ge0\) \(\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow1-P\ge0\Rightarrow P\le1\)
(*) CM BĐT : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) ( biến đổi tương đương là được )
Áp dụng :
\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
TA có : \(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\)
\(\ge4+4-3=5\) ( theo cô - si )
=> 2\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge25\) => ĐPCM
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y= 0,5
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}=\frac{2-2xy}{2+xy}\)
\(P=\frac{2-2xy}{2+xy}=\frac{-4-2xy+6}{2+xy}=\frac{-2\left(2+xy\right)+6}{2+xy}=-2+\frac{6}{2+xy}\)
Ta có : xy \(\ge\)0 nên \(P=-2+\frac{6}{2+xy}\le-2+\frac{6}{2+0}=1\)
Vậy P max = 1 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{cases}}\)
sao bạn ko dùng AMGM vậy