Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
Đặt \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=x+y+\frac{2}{x+y}\) (do \(xy=1\) )
Khi đó, ta có thể biến đổi biểu thức \(P\) quay về dạng có thể dùng bđt \(AM-GM\) hay nói cách khác, đây là số mệnh của nó đã được an bài đằng sau cách cửa biết nói.
\(P=\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]-\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{4}{\left(x+y\right)}}=4-\frac{2}{x+y}\)
Mặt khác, do \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (theo bđt \(AM-GM\) cho hai số thực \(x,y\)không âm)
nên \(-\frac{1}{x+y}\ge-\frac{1}{2}\) hay nói cách khác, \(-\frac{2}{x+y}\ge-1\)
Do đó, \(P\ge4-1=3\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\xy=1\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=1\)
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=1\).. Chứng minh rằng:
\(x^4+y^4-x^2y^2\ge\frac{1}{9}\)
đặt x2 + y2 = a; xy = b. khi đó a - b = 1 hay a = b + 1.
ta phải chứng minh x4 + y4 - x2y2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\)hay a2 - 3b2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\) (1)
thế a = b + 1 vào (1) ta được 9b2 - 9b - 4 \(\le\)0 hay (3b + 1)(3b - 4) \(\le\)0 hay \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\)
ta sẽ chứng minh \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\).
thật vậy
ta có x2 + y2\(\ge\)2xy nên từ giả thiết suy ra xy \(\le\) 1 hay b \(\le\)1 nên b \(\le\)\(\frac{4}{3}\)
mặt khác từ giả thiết ta có (x + y)2 - 3xy = 1 nên 3xy + 1 = (x + y)2\(\ge\)0 hay xy \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)hay b \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)
từ đó suy ra đpcm.
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
a) \(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}\)
b) \(\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\cdot\sqrt{\frac{\left(y-2\sqrt{y}+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}}=\frac{x-1}{\sqrt{y}+1}\cdot\sqrt{\frac{\left(\sqrt{y}-1\right)^4}{\left(x-1\right)^4}}=\frac{x-1}{\sqrt{y}+1}\cdot\frac{\left(\sqrt{y}-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\sqrt{y}-1}{x-1}\)
a)\(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{x+1}\right)^2}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b)\(\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\frac{\left(y-2\sqrt{y}+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}}=\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\cdot\frac{\sqrt{\left(\sqrt{y}-1\right)^{2^2}}}{\sqrt{\left(x-1\right)^4}}=\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\cdot\frac{\left(\sqrt{y}-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\sqrt{y}-1}{x-1}\)
Lời giải:
Đặt $2^x=a; 2^y=b(a,b>0)$. Vì $x+y\geq 0$ nên $ab=2^{x+y}\geq 1$
Yêu cầu đề bài tương đương với:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2+1)(b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $ab=1\Leftrightarrow 2^{x+y}=1\Leftrightarrow x+y=0$. Vì $x,y$ là số tự nhiên nên $x=y=0$