Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
\(P=\dfrac{18}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{xy}=\dfrac{18\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{xy}=\dfrac{18\left[\left(x^2+y^2\right)+2xy\right]}{x^2+y^2}+\dfrac{5\left[\left(x^2+y^2\right)+2xy\right]}{xy}=18+\dfrac{36xy}{x^2+y^2}+\dfrac{5\left(x^2+y^2\right)}{xy}+10=28+\left[\dfrac{36xy}{x^2+y^2}+\dfrac{5\left(x^2+y^2\right)}{xy}\right]\overset{Cauchy}{\ge}28+2\sqrt{\dfrac{36xy}{x^2+y^2}.\dfrac{5\left(x^2+y^2\right)}{xy}}=28+2.6\sqrt{5}=28+12\sqrt{5}\)
=> \(P^{ }_{min}=28+12\sqrt{5}\) khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{36xy}{x^2+y^2}=\dfrac{5\left(x^2+y^2\right)}{xy}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}\\y=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\\y=\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\\ =5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Với hai số dương \(x;y\) , bằng cách khai triển tương đương hai vế ta dễ dàng chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
Áp dụng vào biểu thức P ta có:
\(P\ge5\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\\ \ge5\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2"cosy"}\\ \ge\dfrac{5.4}{3^2}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{22}{9}\)
Dấu \('='\) xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{2}\)