Câu hỏi của Chi Đặng

Question

Cho x,y > 1. Tìm Min P biết

P= x²/ y-1+ y^2/ x-1

Hoàng Lê Bảo Ngọc · Accepted Answer

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}$

Đặt $t=x+y$ thì $P=\frac{t^2}{t-2}=\frac{\left(t^2-8t+16\right)+\left(8t-16\right)}{t-2}=\frac{\left(t-4\right)^2}{t-2}+8\ge8$

Dấu "=" xảy ra khi t = 4 => $\hept{\begin{cases}x=y\x+y=4\end{cases}}$ <=> x = y = 2

Vậy Min P = 8 <=> x = y = 2

Câu trả lời:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}$

Đặt $t=x+y$ thì $P=\frac{t^2}{t-2}=\frac{\left(t^2-8t+16\right)+\left(8t-16\right)}{t-2}=\frac{\left(t-4\right)^2}{t-2}+8\ge8$

Dấu "=" xảy ra khi t = 4 => $\hept{\begin{cases}x=y\x+y=4\end{cases}}$ <=> x = y = 2

Vậy Min P = 8 <=> x = y = 2