Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(\left(y^2-y\right)+2\ge0\Rightarrow2y^3\le y^4+y^2\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x^2+y^2\right)+\left(y^4+x^3\right)\)
Mà \(x^3+y^4\le x^2+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)
Lại có: \(x\left(x-1\right)^2\ge0;y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)^2+y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-y^3-y^2+y\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x+y\right)+\left(x^3+y^4\right)\)
Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)
Và \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\ge0;\left(y-1\right)\left(y^3-1\right)\ge0\)
\(x^3-x^2-x+1+y^4-y-y^3+1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(x^2+y^3\right)\le2+\left(x^3+y^4\right)\)
Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) => đpcm
Ta có \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\Leftrightarrow x^2+y^2+y^3\ge x^3+y^2+y^4\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có \(y^4+y^2\ge2y^3\)
\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\ge x^3+2y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có
\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)
Lại có
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) => đpcm
Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh
(Nhưng hơi dài và khó hiểu nên mình k làm )
Học tốt!!!!!!!!!
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+y^3\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}=x^3+2y^3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+y^2)(x^2+y^3)\geq (x+y^2)(x^3+y^4)\geq (x^2+y^3)^2\)
\(\Rightarrow x+y^2\geq x^2+y^3\)
\(\Rightarrow x+y+y^2\geq x^2+y^3+y\geq x^2+2\sqrt{y^4}=x^2+2y^2\) (AM-GM)
\(\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\) (2)
Lại áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\) . Suy ra \(x+y\geq x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 1\geq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 2(3)\)
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
a) Ta có : \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : \(2x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2x.\frac{2}{x}}=4\) (1)
Tương tự : \(2y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{2y.\frac{2}{y}}=4\)(2) ; \(x+y\le2\Rightarrow-\left(x+y\right)\ge-2\)(3)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế được: \(\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\ge4+4-2=6\)
Hay \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\ge6\) (đpcm)
b) Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) được :
\(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\ge\left(ab\right)^4+\left(bc\right)^4+\left(ca\right)^4\)
Tương tự : \(\left(a^2b^2\right)^2+\left(b^2c^2\right)^2+\left(c^2a^2\right)^2\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^3b^3c^3}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Đặt \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=x+y+\frac{2}{x+y}\) (do \(xy=1\) )
Khi đó, ta có thể biến đổi biểu thức \(P\) quay về dạng có thể dùng bđt \(AM-GM\) hay nói cách khác, đây là số mệnh của nó đã được an bài đằng sau cách cửa biết nói.
\(P=\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]-\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{4}{\left(x+y\right)}}=4-\frac{2}{x+y}\)
Mặt khác, do \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (theo bđt \(AM-GM\) cho hai số thực \(x,y\)không âm)
nên \(-\frac{1}{x+y}\ge-\frac{1}{2}\) hay nói cách khác, \(-\frac{2}{x+y}\ge-1\)
Do đó, \(P\ge4-1=3\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\xy=1\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=1\)
\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)
\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)
\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4
Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ
We have:
\(x^{^3}+y^3=\left(x^3+\frac{1}{2}x\right)+\left(y^3+\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{2}\left(x^2+y^2\right)-\frac{1}{2}\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Tu gia thuyet we have:
\(0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)\le0\\y\left(y-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)
Dau '=' xay ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)=\left(0;1\right)\)
\(x^2+y^3+y^2\ge x^3+y^4+y^2\ge x^3+2y^3\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
Mà \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.x\sqrt{x}+\sqrt{y}.y\sqrt{y}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le2\Rightarrow x^3+y^3\le2\)
Dấu "=" khi \(x=y=1\)
thanks nhìu