MP
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2020
1.
\(P=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5x}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+\frac{5}{2}.1=\frac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
2.
\(P=\frac{a}{100}+\frac{1}{a}+\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}+\frac{c}{1000^2}+\frac{1}{c}+\frac{99}{100}a+\frac{9999}{10000}b+\frac{999999}{1000000}c\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{a}{100a}}+2\sqrt{\frac{b}{10000b}}+2\sqrt{\frac{c}{1000000c}}+\frac{99}{100}.10+\frac{9999}{10000}.100+\frac{999999}{1000000}.1000=...\)
Bạn tự bấm máy tính
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=10\\b=100\\c=1000\end{matrix}\right.\)
3.
\(VT=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{8ab\left(a+b\right)^2}{2ab\left(a+b\right)^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
31 tháng 8 2018
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2018
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2020
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2020
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
23 tháng 2 2020
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2020
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
16 tháng 12 2017
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)\(=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{17}.\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\)
26 tháng 8 2019
3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)
=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)
AD bđt cosi vs hai số dương có:
\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)
Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))
=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)
<=> P \(\ge4.5\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
=> a=2,b=3
Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2
\(Q=\frac{x^2+2x+17}{2\left(x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2+16}{2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2}+\frac{8}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{x+1}{2}.\frac{8}{x+1}}=4\)
Dấu "=" tại x = 3