KN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
K
0
LN
1
TN
0
DT
1
TM
20 tháng 12 2016
\(P=2\left(x^3+y^3\right)-3xy\)
\(P=2\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-3xy\)
\(P=2\left(x+y\right)\left(2-2xy\right)-3xy\)
Mặt khác: \(x^2+y^2=2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=2\Leftrightarrow xy=\frac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\)
Thay \(xy=\frac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\) vào P ta có: \(P=2\left(x+y\right)\left(2-2.\frac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\right)-3.\frac{\left(x+y\right)^2-2}{2}\)
Đặt x+y=t <=> \(\left(x+y\right)^2=t^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.2=4\)
=> \(\left|t\right|\le2\) và \(P=2t\left(2-2.\frac{t^2-2}{2}\right)-3.\frac{t^2-2}{2}=-t^3-\frac{3}{2}.t^2+6t+3\) với \(\left|t\right|\le2\)
Xét \(g\left(t\right)=-t^3-\frac{3}{2}.t^2+6t+3\) trên đoạn [-2;2]
\(g'\left(t\right)=-3t^2-3t+6\)
\(g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow-3t^2-3t+6=\left(-3\right)\left(t^2+t-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-2=t^2-t+2t-2=t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)=\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+2=0\\t-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}t=-2\in\left[-2;2\right]\\t=1\in\left[-2;2\right]\end{cases}}\)
\(g\left(-2\right)=-7;g\left(2\right)=1;g\left(1\right)=\frac{13}{2}\)
=>\(P_{max}=\frac{13}{2}\) khi \(x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) và \(y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) và \(y=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
Vậy .............
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM thì:
$1=\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=\frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-yz\geq \frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2=(x+y+z)^2\leq [\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2](\frac{2}{3}+\frac{4}{3})\leq 1.2$
$\Leftrightarrow P^2\leq 2$
$\Rightarrow -\sqrt{2}\leq P\leq \sqrt{2}$
Vậy $P_{\min}=-\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{-\sqrt{2}}{3};\frac{-\sqrt{2}}{3}; \frac{-\sqrt{2}}{3}) \)
$P_{\max}=\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3})\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 7 2020
\(Q=2020-\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)\le2020-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2020-\frac{x+y+z}{2}=\frac{4037}{2}\)
\(Q_{max}=\frac{4037}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Bu nhi a có: (x + y)2 \(\le\) (12 + 12).(x2 + y2)
=> (x + y)4 \(\le\) 4.(x\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\) + y.\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\) )2 \(\le\) 4. (x3 + y3).(x + y) = 8.(x+ y)
Vì x3 + y3 = 2 khác 0 nên x + y khác 0 => (x+ y)3 \(\le\) 8 => x+ y \(\le\) 2
Dẫu "=" xảy ra khi x = y =1