Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-3\ge x+2y+3z-3\)
Ta lại có: \(6=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)
\(\Rightarrow P\ge6-3=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
a) Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà đề cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)nên ta được \(x=y=z\)
\(\Rightarrow\frac{7x^3+y^3+12z^3}{2x^2y+3xyz+5xz^2}=\frac{7x^3+x^3+12z^3}{2x^3+3x^3+5x^3}=\frac{20x^3}{10x^3}=2\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương: \(x^4+y^4+z^4+t^4\ge4xyzt\)
Mà đề cho dấu "=" xảy ra vậy đề bài tương đương với \(x=y=z=t\)
\(\frac{x^6+2y^6+3z^6+4xyz^4+10yzt^4}{5xy^2z^3}=\frac{x^6+2x^6+3x^6+4x^6+10x^6}{5x^6}=\frac{20x^6}{5x^6}=4\)
\(\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1\ge\frac{51}{7}+3=\frac{72}{7}\left(1\right)\)
Vậy ta cần chứng minh Bđt (1) , ta có:
\(VT_{\left(1\right)}=\frac{2y+3z+6+x}{1+x}+\frac{3z+x+2y+6}{1+2y}+\frac{x+2y+3z+6}{1+3z}\)
\(=\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z}\right)\)
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{3z}\right)\)
\(\ge\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{9}{3+x+2y+3z}\right)\)
\(=\left(18+6\right)\cdot\frac{9}{18+3}=24\cdot\frac{3}{7}=\frac{72}{7}\)
Vậy Bđt (1) đúng =>Đpcm
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x\\b=2y\\c=3z\end{cases}}\) => a + b + c = 18
\(P=\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}=\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{a+c+5}{b+1}+\frac{a+b+5}{c+1}\)
Lại đặt \(\hept{\begin{cases}m=a+1\\n=b+1\\p=c+1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=m-1\\b=n-1\\c=p-1\end{cases}}\)
Ta có : \(\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{a+c+5}{b+1}+\frac{a+c+5}{c+1}=\frac{24-m}{m}+\frac{24-n}{n}+\frac{24-p}{p}\)
\(=24\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)-3\ge\frac{24.9}{m+n+p}-3=\frac{24.9}{\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(b+1\right)}-3\)
\(=\frac{24.9}{18+3}-3=\frac{51}{7}\)
Áp dụng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+z+y+z}\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
Đặt \(x=a;2y=b;3z=c\Rightarrow a+b+c=3\)
\(T=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Áp dụng Bđt Cô si ngược dấu ta có:
\(T=\text{∑}a-\frac{a^2b}{1+b^2}\ge\text{∑}a-\frac{a^2b}{2b}=\text{∑}a-\frac{ab}{2}\)
\(=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c-\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{6}\)\(=3-\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại
Số số hạng là :
Có số cặp là :
50 : 2 = 25 ( cặp )
Mỗi cặp có giá trị là :
99 - 97 = 2
Tổng dãy trên là :
25 x 2 = 50
Đáp số : 50
a, Áp dụng bđt bunhiacôpxki ta có
\(\left(x+2y+3z\right)^2\le\left(1^2+2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\left(x+2y+3z\right)^2\le14\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Mà x+2y+3z=6 nên \(36\le14\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
=> \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{18}{7}\)