LV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LV
2
KT
8 tháng 8 2018
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
<=> \(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)<=> \(x=y=z\) (đpcm)
8 tháng 8 2018
\(x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2xz+2yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)(1)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z}\)
Chúc bạn học tốt.
PN
23 tháng 4 2016
Bạn ghi sai đề rồi nhé! Nếu ta lần lượt thay số vào các biến \(x,y,z\) ở vế trái của bất đẳng thức trên (chẳng hạng như \(\frac{1}{3}\)) kết hợp với chú ý rằng \(x=y=z\) (sẽ được chứng minh ở các bước sau này), khi đó kết quả sẽ cho ra khác, tức là \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vô lý!). Đó là lý do mình phải 'viết lại' đề cộng với một chút chỉnh sửa hợp lý về phương diện toán học. Hmmm, vất vả vật lộn với bài này quá nya. \(3\) \(s\) đi!
Đề: Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{xz}{y+yz}}\le\frac{3}{2}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Lời giải:
Từ giả thiết đã cho ở trên, ta dễ dàng chứng minh được \(1>x,y,z>0\) với mọi \(x,y,z\in R^+\)
\(\Rightarrow\) \(1-x>0;\) \(1-y>0;\) \(1-z>0\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho hai số không âm với chú ý rằng \(x+y+z=1\) (theo giả thiết), ta có:
\(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{1-x-y+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-y}+\frac{y}{1-x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(y\) \(\rightarrow\) \(z\) \(\rightarrow\) \(x\), ta chứng minh được:
\(\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-x}+\frac{x}{1-z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right),\) ta được:
\(VT\left(\text{*}\right)\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{1-x}+\frac{z}{1-x}\right)+\left(\frac{x}{1-y}+\frac{z}{1-y}\right)+\left(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}=VP\left(\text{*}\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
HT
1
31 tháng 7 2019
\(x^2+y^2+z^2\ge xy-xz+yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy-2xz+2yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)+\left(z^2-2yz+y^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(z-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy-xz+yz\)( đúng với mọi x,y,z )
Dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x+z\right)^2=0\\\left(z-y\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+z=0\\z-y=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=x\\x+z=0\\y=z\end{cases}}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+z=0\\x=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=0}\)
T
5 tháng 6 2019
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
LD
6 tháng 6 2019
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức dạng:
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\)
\(=[(x+y)^3+z^3]-[3xy(x+y)+3xyz]\)
\(=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy-zx-zy+z^2-3xy)\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức dạng:
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\)
\(=[(x+y)^3+z^3]-[3xy(x+y)+3xyz]\)
\(=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy-zx-zy+z^2-3xy)\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Ta có đpcm.
TN
9 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ta có:
\(\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
HT
2
C
31 tháng 10 2019
ủa,\(2\left(xy-yz+zx\right)\) mới đúng chứ nhể ?
\(x^2=\left(y+z\right)^2=y^2+2yz+z^2\Rightarrow2yz=x^2-y^2-z^2\)
\(x=y+z\Rightarrow x-y=z\Rightarrow x^2-2xy+y^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2-z^2=2xy\)
\(x=y+z\Rightarrow y=x-z\Rightarrow y^2=x^2-2xz+z^2\Rightarrow x^2+z^2-y^2=2xz\)
Khi đó:
\(2xy-2yz+2zx=x^2+y^2-z^2-x^2+y^2+z^2+x^2+z^2-y^2=x^2+y^2+z^2\)
=> đpcm
2 tháng 11 2019
Thêm một cách nhé!
\(x=y+z\)
=> \(y+z-x=0\)
=> \(\left(y+z-x\right)^2=0\)
=> \(\left(y+z\right)^2-2x\left(y+z\right)+x^2=0\)
=> \(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=0\)
=> \(2\left(xy-yz+xz\right)=x^2+y^2+z^2\)
NL
1
13 tháng 10 2016
x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2xz
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 = 0
(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 = 0 mà (x - y)2 ; (x - z)2 ; (y - z)2 đều ko âm
=> (x - y)2 = (x - z)2 = (y - z)2 = 0 => x - y = x - z = y - z = 0 => x = y = z
Chúc bạn học tốt 
ta có : \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\)