MT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AT
14 tháng 11 2018
không mất tính tổng quát giả sử y nằm giữa x và z
=> x(y - z)(y - x) ≤ 0
hay xy2 + zx2 ≤ x2y + xyz
Ta cần chứng minh: x2y + yz2 ≤ 2.
Ta có: x2 + y2 + z2 = 3
<=> x2 + z2 = 3 - y2.
Ta có: \(x^2y+yz^2\le2\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow y\left(3-y^2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow3y-y^3\le2\)\(\Leftrightarrow y^3+2\ge3y\)(đúng, vì theo AM-GM có:\(y^3+1+1\ge3\sqrt[3]{y^3}=3y\))
=> Đpcm
14 tháng 8 2020
ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy
\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)
từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)
vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị
30 tháng 6 2020
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)ta có: \(a,b,c>0;a+b+c=1\)do đó 0<a,b,c<1
\(P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+2\left(a+b+c\right)^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\left(\frac{b^2}{a}-2b+a\right)+\left(\frac{c^2}{b}-2c+b\right)+\left(\frac{a^2}{c}-2a+c\right)-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(1-b\right)\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(1-c\right)\left(c-a\right)^2}{c}+3\ge3\)
Vậy GTNN của P=3
Can them dieu kien cua x;y;z vi du x;y;z>0
WLOG \(x\ge y\ge z\)
Ap dung BDT Rearrangement ta co:
\(VT=xy^2+yz^2+zx^2\le x^2y+xyz+yz^2\)
\(=xyz+y\left(x^2+z^2\right)=\text{}xyz+y\left(3-y^2\right)\)
\(\le\text{}xyz+2=VP\)
Cảm ơn bạn