G
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
6 tháng 2 2017
Áp dụng BDT AM-GM ta có:\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{VT}{3}\ge\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{yz+yx+y}+\frac{z^2}{xz+zy+z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+xy+z}\) (Cauchy-Schwarz)
Do \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2\).Suy ra
\(2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra \(\frac{VT}{3}\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\Rightarrow VT\ge3\) (điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 8 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\leq \left(\frac{x^2+y^2+z^2+1-y^2+1-z^2+1-x^2}{2}\right)^2=(\frac{3}{2})^2\)
Do đó:
\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq (\frac{3}{2})^2\)
\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)
Vậy $A=\frac{3}{2}$
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
\(x+y+z\le2xyz+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-2xyz\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-2yz\right)+y+z\le\sqrt{2}\)
Ta có: \(x\left(1-2yz\right)+y+z\le\sqrt{\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-2yz\right)^2+1\right]}\)( bđt bunhiacopxki )
Ta cần chứng minh \(\sqrt{\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-2yz\right)^2+1\right]}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[x^2+y^2+z^2+2yz\right]\left[1-4yz+4y^2z^2+1\right]\le2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+2yz\right)\left(2-4yz+4y^2z^2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow2-4yz+4y^2z^2+4yz-8y^2z^2+8y^3z^3\le2\)
\(\Leftrightarrow8y^3z^3-4y^2z^2\le0\)
\(\Leftrightarrow4y^2z^2\left(2yz-1\right)\le0\)(1)
Ta có: \(1=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\)
\(\Rightarrow yz\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\)đúng
Vậy đẳng thức đc chứng minh
ok bạn